Risolvere un sistema di equazioni lineari di due equazioni in due incognite

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Risolvere un sistema di equazioni lineari di due equazioni in due incognite #31131

avt
frida
Cerchio
Mi serve una mano per risolvere un sistema lineare in due equazioni e in due incognite a coefficienti fratti. Purtroppo no è espresso in forma normale e non so come procedere con la risoluzione.

Usare il metodo del confronto per determinare le coppie che soddisfano contemporaneamente le equazioni del seguente sistema lineare

\begin{cases}\dfrac{1}{2}x-y=3 \\ \\ x+\dfrac{1}{3}y=\dfrac{11}{3}\end{cases}

Grazie mille.
Ringraziano: Omega
 
 

Risolvere un sistema di equazioni lineari di due equazioni in due incognite #31153

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito prevede di risolvere il sistema lineare di due equazioni in due incognite

\begin{cases}\dfrac{1}{2}x-y=3 \\ \\ x+\dfrac{1}{3}y=\dfrac{11}{3}\end{cases}

avvalendoci del metodo del confronto. Prima di innescare la strategia risolutiva, però, conviene esprimere le equazioni a denominatore comune

\begin{cases}\dfrac{x-2y}{2}=3 \\ \\ \dfrac{3x+y}{3}=\dfrac{11}{3}\end{cases}

Procediamo con la semplificazione delle equazioni moltiplicando la prima equazione per 2 e la seconda per 3

\begin{cases}x-2y=3\cdot 2 \\ \\ 3x+y=11\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x-2y=6\\ \\ 3x+y=11\end{cases}

Ora che il sistema è espresso in forma normale, possiamo avvalerci del metodo del confronto che prevede di esplicitare la stessa incognita sia dalla prima che dalla seconda equazione - ad esempio x - e confrontare in seguito i secondi membri. Procediamo con ordine: esprimiamo x in termini di y sia dalla prima che dalla seconda equazione

\begin{cases}x=6+2y\\ \\ x=\dfrac{11-y}{3}\end{cases}

Le equazioni hanno il medesimo membro di sinistra, pertanto anche i membri di destra devono coincidere. Dal punto di vista operativo, bisogna sostituire l'espressione 6+2y al posto di x nella seconda relazione: così facendo la seconda relazione del sistema si tramuta in un'equazione di primo grado nella sola incognita y

\begin{cases}x=6+2y\\ \\ 6+2y=\dfrac{11-y}{3}\end{cases}

Per ricavare le soluzioni dell'equazione nella sola y bisogna moltiplicare i due membri per 3

\begin{cases}x=6+2y\\ \\ 18+6y=11-y\end{cases}

trasportare i termini con l'incognita al primo membro e quelli senza al secondo, stando attenti ai segni dei monomi che attraversano il simbolo di uguaglianza

\begin{cases}x=6+2y\\ \\ 6y+y=-18+11\end{cases}

Sommiamo tra loro i monomi che hanno la stessa parte letterale

\begin{cases}x=6+2y\\ \\ 7y=-7\end{cases}

e infine dividiamo a destra e a sinistra per il coefficiente di y

\begin{cases}x=6+2y\\ \\ y=-\dfrac{7}{7}=-1\end{cases}

Noto il valore di y, possiamo sostituirlo nella prima equazione così da ricavare il corrispettivo valore di x:

\begin{cases}x=6+2\cdot (-1) \ \ \ \to \ \ \ x=4\\ \\ y=-1\end{cases}

Abbiamo finalmente tutte le informazioni necessarie per concludere che il sistema

\begin{cases}\dfrac{1}{2}x-y=3 \\ \\ x+\dfrac{1}{3}y=\dfrac{11}{3}\end{cases}

è determinato e la sua unica soluzione è (x,y)=(4,-1). Abbiamo finito.
Ringraziano: frida
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Os