Esercizio su equazione fratta letterale con 2 parametri

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Esercizio su equazione fratta letterale con 2 parametri #31112

avt
mateostrusa
Punto
Riscontro delle difficoltà nel discutere una equazione letterale fratta di primo grado con due parametri. Nonostante abbia tentato di svolgere l'esercizio, non ottengo i risultati sperati, ecco perché ho bisogno del vostro aiuto.

Discutere la seguente equazione letterale fratta di primo grado al variare dei due parametri reali a\ \mbox{e} \ b

\frac{ax+b}{x}-\frac{a^2+bx}{x}-\frac{b(1+2a)}{a}+3b=0

Esplicitare nel caso sia possibile l'insieme delle soluzioni.
 
 

Esercizio su equazione fratta letterale con 2 parametri #31114

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio chiede di discutere l'equazione letterale fratta di primo grado

\frac{ax+b}{x}-\frac{a^2+bx}{x}-\frac{b(1+2a)}{a}+3b=0

al variare dei parametri reali a\ \mbox{e} \ b. Dovremo esplicitare inoltre l'insieme delle soluzioni se è possibile farlo.

Per prima cosa imponiamo le condizioni di esistenza: dovremo richiedere che i denominatori contenenti l'incognita o il parametro siano non nulli. Tali vincoli discendono dal fatto che non si può dividere per zero.

\\ x\ne 0 \\ \\ a\ne 0

Le condizioni di esistenza sono dunque:

C.E.: a\ne 0 \ \wedge \ x\ne 0

dove \ \wedge è il simbolo matematico che individua il connettivo logico "e".

Osserviamo che se a=0, il denominatore della terza frazione algebrica è nullo, di conseguenza l'intera equazione perde di significato.

Per a\ne 0, possiamo continuare con la risoluzione, calcolando il minimo comune multiplo tra i polinomi al denominatore, ricavando così l'equazione

\frac{a(ax+b)-a(a^2+bx)-bx(1+2a)+3abx}{ax}=0

Tenendo conto delle condizioni di esistenza, siamo autorizzati a cancellare il denominatore

a(ax+b)-a(a^2+bx)-bx(1+2a)+3abx=0

Eseguiamo le moltiplicazioni e sommiamo in seguito i termini simili

\\ a^2x+ab-a^3 -abx-bx-2abx+3abx=0 \\ \\ a^2x+ab-a^3-bx=0

Trasportiamo gli addendi senza l'incognita al secondo membro

a^2 x -bx=a^3 -ab

ed eseguiamo due raccoglimenti totali: al primo membro raccogliamo x, al secondo membro invece a.

(a^2-b)x=a(a^2-b)

Se a^2-b=0, ossia se b=a^2, l'equazione si riduce all'identità

0=0

che però è condizionata dal vincolo dettato dalle C.E.: x\ne 0.

Se a^2-b\ne 0, ossia se b\ne a^2, possiamo dividere i membri dell'equazione per a^2-b, ottenendo:

x=\frac{a(a^2-b)}{a^2-b} \ \ \to \ \ x=a

Sottolineiamo che nell'ultimo passaggio abbiamo semplificato la frazione algebrica.

Affinché x=a sia una soluzione accettabile, dobbiamo pretendere che soddisfi la disuguaglianza x\ne 0, ossia deve sussistere la relazione

a\ne 0

La discussione è terminata, non ci resta che scrivere per bene le conclusioni:

- se a=0, l'equazione è priva di senso;

- se a\ne 0 \ \wedge \ b\ne a^2, l'equazione è determinata e ammette come soluzione x=a;

- se a\ne 0 \ \wedge \ b=a^2, l'equazione è indeterminata ed è soddisfatta per ogni x\ne 0.

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, 21zuclo
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Os