Sistema lineare con il metodo di riduzione

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Sistema lineare con il metodo di riduzione #30871

avt
frida
Cerchio
Dovrei risolvere un sistema lineare in due equazioni in due incognite usando il metodo di riduzione. Tra tutti, questa è la strategia che non ho proprio capito come funziona, ecco perché vi chiedo di usare il seguente esercizio come esempio guida per la spiegazione.

Usare il metodo di riduzione per ricavare le eventuali soluzioni del sistema lineare:

\begin{cases}2x+3y=5 \\ \\ \dfrac{1}{2}x-y=-\dfrac{1}{2}\end{cases}

Grazie mille.
Ringraziano: Pi Greco
 
 

Sistema lineare con il metodo di riduzione #30926

avt
Omega
Amministratore
Oltre a fornirci la traccia, l'esercizio ci impone il metodo di riduzione per determinare le soluzioni del sistema lineare

\begin{cases}2x+3y=5 \\ \\ \dfrac{1}{2}x-y=-\dfrac{1}{2}\end{cases}

ma prima occorre semplificare la seconda equazione: più precisamente, bisogna riscrivere i suoi termini a denominatore comune.

\begin{cases}2x+3y=5 \\ \\ \dfrac{x-2y}{2}=-\dfrac{1}{2}\end{cases}

Se moltiplichiamo i membri della seconda equazione per 2, il sistema diventa

\begin{cases}2x+3y=5 \\ \\ x-2y=-1\end{cases}

Essa la cosiddetta forma normale del sistema e, ora, possiamo innescare il metodo di riduzione. Per fare in modo che i coefficienti dell'incognita x siano opposti, moltiplichiamo i termini della seconda equazione per -2

\begin{cases}2x+3y=5 \\ \\ -2x+4y=2\end{cases}

dopodiché sostituiamo la seconda equazione con quella che ha come primo membro, la somma tra i primi membri e come secondo membro, la somma tra i secondi:

\begin{cases}2x+3y=5 \\ \\ 2x+3y-2x+4y=5+2\end{cases}

Una volta sommati i monomi simili, la seconda relazione si tramuta in un'equazione di primo grado nella sola incognita y:

\begin{cases}2x+3y=5 \\ \\ 7y=7\end{cases}

Per ottenere il valore di y, è sufficiente dividere per 7 a destra e a sinistra, ricavando così il sistema equivalente:

\begin{cases}2x+3y=5 \\ \\ y=1\end{cases}

Sebbene sia possibile procedere con il metodo di sostituzione per ottenere l'x associato, preferiamo riprendere il sistema ridotto in forma normale e riapplicare il metodo di riduzione.

\begin{cases}2x+3y=5 \\ \\ x-2y=-1\end{cases}

Obiettivo: moltiplicare i termini delle equazioni per opportuni fattori per fare in modo che i coefficienti di y siano opposti. In questa circostanza, bisogna moltiplicare per 2 i termini della prima equazione e per 3 i termini della seconda:

\begin{cases}2\cdot(2x+3y)=2\cdot 5 \\ \\ 3\cdot(x-2y)=3\cdot(-1)\end{cases}

Svolti i semplici calcoli, ricaviamo:

\begin{cases}4x+6y=10 \\ \\ 3x-6y=-3\end{cases}

A questo punto sostituiamo la seconda equazione con quella che ha come primo membro, la somma dei primi membri e come secondo membro la somma dei secondi membri

\begin{cases}4x+6y=10 \\ \\ 4x+6y+3x-6y=10-3\end{cases}

Sommiamo tra loro i monomi simili e scriviamo il sistema lineare

\begin{cases}4x+6y=10 \\ \\ 7x=7\end{cases}

La seconda relazione è un'equazione di primo grado nell'incognita x ed è soddisfatta per x=1. Abbiamo praticamente finito: abbiamo, infatti, ottenuto sia il valore di x,\ x=1, sia il valore di y, \ y=1 che insieme formano la coppia soluzione

(x,y)=(1,1)

Ecco fatto!
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Os