Equazione goniometrica lineare con sistema e metodo grafico

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Equazione goniometrica lineare con sistema e metodo grafico #30826

avt
FAQ
Punto
Avrei bisogno di una mano per risolvere un'equazione lineare in seno e coseno utilizzando il metodo del passaggio al sistema. Sinceramente non capisco quale metodo sia, spero possiate aiutarmi.

Risolvere la seguente equazione goniometrica lineare con il metodo del passaggio al sistema

\sin(x)-\cos(x)=1

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, xavier310, Hesse
 
 

Equazione goniometrica lineare con sistema e metodo grafico #30915

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere l'equazione goniometrica lineare in seno e coseno

\sin(x)-\cos(x)=1

con il metodo del passaggio al sistema, bisogna impostare un sistema formato dall'equazione data e dalla relazione fondamentale della goniometria

\begin{cases}\sin(x)-\cos(x)=1\\ \\ \sin^2(x)+\cos^2(x)=1\end{cases}

dopodiché operiamo la seguente sostituzione:

X=\cos(x) \ \ \ , \  \ \ Y=\sin(x)

grazie alla quale ci riconduciamo al sistema di equazioni

\begin{cases}Y-X=1 \\ \\ Y^2+X^2=1\end{cases}

Dalla prima equazione, esprimiamo Y in termini di X isolandola al primo membro

\begin{cases}Y=X+1\\ \\ Y^2+X^2=1\end{cases}

da cui

\begin{cases}Y=X+1\\ \\ (X+1)^2+X^2=1\end{cases}

Sviluppiamo il quadrato di binomio e sommiamo i termini simili

\begin{cases}Y=X+1\\ \\ 2X^2+2X=0\end{cases}

La seconda è un'equazione spuria che possiamo risolvere mettendo in evidenza il fattore comune 2X e sfruttando come si deve la legge di annullamento del prodotto:

\begin{cases}Y=X+1\\ \\ 2X(X+1)=0\ \ \ \to \ \ \ X=-1 \ \ \vee \ \ X=0\end{cases}

Sostituendo i valori di X nella prima equazione, otteniamo le coppie

(X,Y)=(-1,0)\ \ \ ; \ \ \ (X,Y)=(0, 1)

che nel piano cartesiano OXY rappresentano i punti di intersezione tra la retta di equazione

Y=X+1

e la circonferenza goniometrica di equazione

X^2+Y^2=1

Esercizi equazioni lineari in seno e coseno 11

Adesso possiamo ripristinare seno e coseno tenendo conto delle sostituzioni effettuate: al sistema

\begin{cases}X=-1\\ \\ Y=0\end{cases}

associamo

\begin{cases}\cos(x)=-1\ \ \ \to \ \ \ x=\pi+2k\pi\\ \\ \sin(x)=0\ \ \ \to \ \ \ x=2k\pi \ \ \vee \ \ x=\pi+2k\pi\end{cases}

da cui ricaviamo la famiglia di soluzioni

x=\pi+2k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

A

\begin{cases}X=0\\ \\ Y=1\end{cases}

associamo il sistema goniometrico

\begin{cases}\cos(x)=0\ \ \ \to \ \ \ x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi \ \ \vee \ \ x=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi\\ \\ \sin(x)=1\ \ \ \to \ \ \ x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\end{cases}

che conduce alla famiglia di soluzioni

x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Possiamo concludere quindi che le soluzioni dell'equazione

\sin(x)-\cos(x)=1

sono

x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \ \vee \ \ x=\pi+2k\pi

dove k è un numero intero.

Ecco fatto.
Ringraziano: Pi Greco, Danni
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Os