Equazione fratta di primo grado con potenze negative

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Equazione fratta di primo grado con potenze negative #30397

avt
matteo
Sfera
Ho bisogno di una mano nel risolvere un'equazione fratta di primo grado in cui ci sono diverse potenze a esponente negativo.

Determinare l'insieme dei valori di x che soddisfano la seguente equazione frazionaria di primo grado

(x+2)^{-1}+\frac{(x^2-4)^{-1}}{x}-x(x^2-2x)^{-1}=0

Come posso risolvere?
Ringraziano: Omega
 
 

Equazione fratta di primo grado con potenze negative #30401

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio chiede di risolvere l'equazione frazionaria di primo grado

(x+2)^{-1}+\frac{(x^2-4)^{-1}}{x}-x(x^2-2x)^{-1}=0

nella quale si manifestano diverse potenze a esponente negativo. In accordo con la definizione, possiamo infatti esprimerle come potenze a esponente positivo a patto di passare ai reciproci delle basi

\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x(x^2-4)}-\frac{x}{x^2-2x}=0

Ora l'equazione non fa più paura!

Procediamo in maniera standard scomponendo i polinomi ai denominatori in fattori irriducibili.

x+2 è di primo grado e in quanto tale irriducibile.

Scomponiamo il secondo denominatore concentrandoci sulla differenza di quadrati:

x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)

Per quanto concerne l'ultimo denominatore, raccogliamo il fattore comune x

x^2-2x=x(x-2)

Riscriviamo l'equazione sostituendo i vari denominatori con le relative scomposizioni

\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x(x-2)(x+2)}-\frac{x}{x(x-2)}=0

e imponiamo le opportune condizioni di esistenza: richiederemo che tutti i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero.

Partiamo dal primo:

x+2\ne 0 \ \ \to \ \ \ x\ne -2

Per quanto concerne l'analisi del secondo denominatore

x(x-2)(x+2)\ne 0

esso richiede la legge di annullamento del prodotto la quale garantisce che il prodotto al primo membro è diverso da zero se e solo se ogni fattore che lo compone è non nullo

\\ x\ne 0 \\ \\ x-2\ne0\ \ \to \ \ x\ne 2 \\ \\ x+2\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -2

Disponiamo di tutti gli elementi per esplicitare l'insieme di esistenza:

C.E.: \ x\ne -2 \ \wedge \ x\ne 0 \ \wedge \ x\ne 2

dove \wedge indica il connettivo logico "e".

Il prossimo passaggio consiste nell'esprimere l'equazione in forma normale, sommando le frazioni algebriche al primo membro, non prima di aver calcolato il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore:

m.c.m.=x(x-2)(x+2)

L'equazione diventa pertanto

\frac{x(x-2)+1-x(x+2)}{x(x-2)(x+2)}=0

I principi di equivalenza ci autorizzano a cancellare il denominatore e, tenendo d'occhio il C.E., a passare all'equazione equivalente

x(x-2)+1-x(x+2)=0

Svolgiamo con calma i calcoli utilizzando la regola dei segni:

x^2-2x+1-x^2-2x=0

da cui sommando i monomi simili.

-4x+1=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di primo grado che risolviamo isolando l'incognita al primo membro

-4x=-1\ \ \to \ \ 4x=1 \ \ \to \ \ x=\frac{1}{4}

Il valore ottenuto rispetta i vincoli delle condizioni di esistenza, ecco perché possiamo concludere che l'equazione è determinata e il suo insieme soluzione è S=\left\{\frac{1}{4}\right\}.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, matteo
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Os