Esercizio di scomposizione con la regola del quadrato di un trinomio

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Esercizio di scomposizione con la regola del quadrato di un trinomio #30237

avt
Francy91
Cerchio
Mi serve il vostro aiuto per scomporre un polinomio usando la regola relativa al quadrato di un trinomio. Non capisco affatto come attribuire il segno corretto ai termini della base.

Scomporre il seguente polinomio con l'opportuno prodotto notevole.

a^2+4x^2+9+4ax-6a-12x

Grazie.
 
 

Esercizio di scomposizione con la regola del quadrato di un trinomio #30246

avt
FAQ
Punto
Per scomporre il polinomio

a^2+4x^2+9+4ax-6a-12x

ci avvarremo della regola relativa al quadrato di un trinomio

A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC=(A+B+C)^2

Esso è un prodotto notevole che consente di scrivere un polinomio formato dai quadrati di tre monomi aumentata dei cosiddetti doppi prodotti misti come il quadrato della somma dei tre monomi.

Operativamente, occorre individuare i termini quadratici e ricavare le rispettive basi (a meno del segno) e in seguito dedurre il segno da attribuire loro analizzando i segni dei doppi prodotti.

I termini quadratici del polinomio a^2+4x^2+9+4ax-6a-12x sono:

a^2 a cui possiamo associare la base a oppure la base -a;

4x^2 a cui possiamo associare la base 2x oppure la base -2x;

9 a cui possiamo associare la base 3 oppure la base -3.

I monomi restanti rappresentano invece i doppi prodotti, infatti:

4ax è il doppio prodotto tra la prima e la seconda base: poiché il coefficiente è positivo, le basi che lo generano hanno coefficienti concordi;

-6a è il doppio prodotto tra la prima e la seconda base: poiché il coefficiente è negativo, le basi che lo generano hanno coefficienti discordi;

-12x è il doppio prodotto tra la seconda e la terza base: poiché il coefficiente è negativo, le basi che lo generano hanno coefficienti discordi.

Ricapitolando: i coefficienti della prima e della seconda base hanno lo stesso segno, mentre quello della terza base ha segno opposto.

Per assecondare i segni dei doppi prodotti, se scegliamo a come base del primo quadrato, la base del secondo dev'essere necessariamente 2x (per concordanza), mentre la base del terzo quadrato deve essere -3 (per discordanza), pertanto la scomposizione richiesta è:

a^2+4x^2+9+4ax-6a-12x=(a+2x-3)^2

Abbiamo terminato.

Osservazione: se avessimo scelto -a come base del primo quadrato, quella del secondo e quella del terzo sarebbero state rispettivamente -2x, mentre quella del terzo 3. Da questa scelta sarebbe scaturita la scomposizione equivalente:

a^2+4x^2+9+4ax-6a-12x=(-a-2x+3)^2

Ecco fatto.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Francy91
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Os