Esercizio scomposizione di un polinomio come quadrato di trinomio

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Esercizio scomposizione di un polinomio come quadrato di trinomio #29957

avt
Francy91
Cerchio
Ho bisogno di una mano per risolvere un esercizio sulla fattorizzazione di un polinomio. Mi viene chiesto di stabilire se il polinomio dato sia effettivamente il quadrato di un trinomio oppure no. Come faccio a capirlo?

Giustificando opportunamente, stabilire se il seguente polinomio è lo sviluppo del quadrato di un trinomio e, in caso positivo, esplicitare la scomposizione.

1+2x+x^2+2y-2xy+y^2

Grazie.
 
 

Esercizio scomposizione di un polinomio come quadrato di trinomio #29969

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio consiste essenzialmente nello scomporre il polinomio

1+2x+x^2+2y-2xy+y^2

con la regola del quadrato di trinomio

A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC=(A+B+C)^2

È un prodotto notevole che consente di fattorizzare un polinomio formato dalla somma tra i quadrato di tre monomi aumentata dei loro doppi prodotti come il quadrato della somma di tali monomi.

Per poter applicare il prodotto notevole occorre individuare i termini quadratici e ricavare le loro basi: a causa del quadrato, i coefficienti di tali basi possono essere positivi o negativi. Bisogna, inoltre, analizzare i segni dei coefficienti dei doppi prodotti e accertarsi che sia possibile ricavare una combinazione "coerente" di segni da dare alle basi. Cerchiamo di essere più espliciti.

I termini quadratici del polinomio sono:

A^2=1 a cui possiamo associare le basi A=1 \ \mbox{oppure} \ A=-1;

B^2=x^2 a cui possiamo associare le basi B=-x \ \mbox{oppure} \ B=x;

C^2=y^2 a cui possiamo associare le basi C=y\ \mbox{oppure} \ C=-y.

Analizziamo i segni degli ipotetici doppi prodotti:

2x si candida come doppio prodotto tra la base di A^2=1 e la base di B^2=x^2: poiché il coefficiente è positivo, necessariamente le basi A\ \mbox{e} \ B devono avere coefficienti concordi (sono entrambi positivi o entrambi negativi);

2y si candida come doppio prodotto tra la base di A^2=1 e la base di C^2=y^2: poiché il coefficiente è positivo, le basi A\ \mbox{e}\ C devono avere coefficienti concordi (sono entrambi positivi o entrambi negativi);

-2xy si candida come doppio prodotto tra la base di B^2=x^2 e la base di C^2=y^2: poiché il coefficiente è negativo, le basi B\ \mbox{e}\ C devono essere discordi tra loro (uno è negativo, l'altro positivo o viceversa).

Ricapitolando: A \ \mbox{e} \ B devono avere lo stesso segno, così come devono avere lo stesso segno anche A\ \mbox{e} \ C, mentre B\ \mbox{e} \ C devono essere discordi.

Se leggiamo con attenzione, ci accorgiamo che sorge un'incongruenza: A\ \mbox{e}\ B sono concordi, così come lo sono A\ \mbox{e}\ C, allora anche B\ \mbox{e} \ C devono avere lo stesso segno, però ciò è impossibile perché abbiamo visto che B\ \mbox{e} \ C devono essere discordi tra loro.

Questa discrepanza di segni ci permette di concludere che il polinomio dato non è lo sviluppo di alcun quadrato di trinomio!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Francy91, CarFaby
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Os