Disequazione fratta e irrazionale

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Disequazione fratta e irrazionale #29767

avt
depe_
Cerchio
Il mio problema è che non so risolvere queste disequazioni fratte, in cui la prima ha anche coefficienti irrazionali

\frac{\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{(\sqrt{2} - 1) - 4(x + \sqrt{2})}{(\sqrt{2} - 1)(x + \sqrt{2})} \geq \frac{2(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) - (x + \sqrt{2})}{(\sqrt{2} - 1)(x + \sqrt{2})}

\frac{3(x - 1)}{(x + 3)^2} \leq \frac{5}{x + 3} - \frac{14}{(x + 3)^3}

\frac{2(x + 1)}{x(2x + 1)} + \frac{2x^2}{(x - 5)(2x + 1)} \leq \frac{x - 2}{x(x - 5)} + 1

Spero riusciate a darmi una mano, non so proprio come risolverle..
 
 

Disequazione fratta e irrazionale #29798

avt
Danni
Sfera
In ciascuna delle disequazioni che hai riportato applicheremo il metodo di risoluzione per le disequazioni fratte. Cominciamo con la prima.

Primo membro:

\frac{\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{(\sqrt{2} - 1) - 4(x + \sqrt{2})}{(\sqrt{2} - 1)(x + \sqrt{2})}

Secondo membro:

\frac{2(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) - (x + \sqrt{2})}{(\sqrt{2} - 1)(x + \sqrt{2})}

Mi raccomando, non farti distrarre dalla presenza dei numeri irrazionali! Eliminiamo il fattore comune numerico al denominatore e rimane

\frac{\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{(\sqrt{2} - 1) - 4(x + \sqrt{2})}{x + \sqrt{2}} \geq }\frac{2- (x + \sqrt{2})}{x + \sqrt{2}}

ovvero

\frac{- 4(\sqrt{2} - 1)x - 4\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} - 1)^2 - 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2}(x + \sqrt{2})}{x + \sqrt{2}} \geq 0

Numeratore:

(- 4\sqrt{2} + 4 + 2\sqrt{2})x \geq 4\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1) - (\sqrt{2} - 1)^2 + 4\sqrt{2} - 4

(4 - 2\sqrt{2})x \geq (\sqrt{2} - 1)(4\sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 + 4)

(4 - 2\sqrt{2})x \geq (\sqrt{2} - 1)(3\sqrt{2} + 5)

(4 - 2\sqrt{2})x \geq 6 + 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 5

2(2 - \sqrt{2})x \geq 1 + 2\sqrt{2}

Ci siamo così ricondotti ad una disequazione di primo grado. Piccola razionalizzazione:

x \geq \frac{(1 + 2\sqrt{2})(2 + \sqrt{2})}{4}

x \geq \frac{2 + \sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 4}{4}

x \geq \frac{(6 + 5\sqrt{2})}{4}

Denominatore:

x > - \sqrt{2}

La disequazione ha verso positivo ed è verificata per valori esterni:

x < - \sqrt{2} \cup   x \geq \frac{(6 + 5\sqrt{2})}{4}

Tra poco passiamo alle altre due..
Ringraziano: Omega, Pi Greco, 21zuclo

Disequazione fratta e irrazionale #29850

avt
Danni
Sfera
La seconda disequazione:

\frac{3(x - 1)}{(x + 3)^2} \leq \frac{5}{x + 3} - \frac{14}{(x + 3)^3}

\frac{3(x - 1)(x + 3) - 5(x + 3)^2 + 14}{x + 3} \leq 0

\frac{3(x^2 + 2x - 3) - 5(x^2 + 6x + 9) + 14 }{x + 3}

\frac{3x^2 + 6x - 9 - 5x^2 - 30x - 45 + 14}{x + 3} \leq 0

\frac{-2x^2 - 24x - 40}{x + 3} \leq 0

\frac{x^2 + 12x + 20}{x + 3} \geq 0

Ora studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore. Il numeratore fornisce una disequazione di secondo grado

N)\ \ x^2 + 12x + 20\geq 0

ossia, scomponendo ad esempio con la regola del trinomio notevole

(x + 10)(x + 2)\geq 0\ \to\ x\leq -10\ \vee\ x\geq -2

D)\ \ x + 3>0

Confrontiamo i segni

+++ (-10) --- (-3) --- (-2) +++

--- (-10) --- (-3) +++ (-2) +++

La disequazione ha assunto verso positivo ed è verificata negli intervalli di segno positivo:

- 10 \leq x < - 3 \cup x \geq - 2
Ringraziano: Omega, Pi Greco, 21zuclo, Diego B

Disequazione fratta e irrazionale #29858

avt
Danni
Sfera
La terza disequazione:

\frac{2(x + 1)}{x(2x + 1)} + \frac{2x^2}{(x - 5)(2x + 1)} \leq \frac{x - 2}{x(x - 5)} + 1

calcoliamo il mcm dei polinomi presenti nei vari denominatori

mcm = x(2x + 1)(x - 5)

e portiamo tutto a sinistra. In pratica si tratta di semplificare un'espressione con le frazioni algebriche

\frac{2(x + 1)(x - 5) + 2x^3 - (x - 2)(2x + 1) + 2x^2 - 9x - 5}{x(2x + 1)(x - 5)} \leq 0

\frac{2x^2 - 8x - 10 + 2x^3 - 2x^2 + 3x + 2 - 2x^3 + 9x^2 - 5x}{x(2x + 1)(x - 5) \leq 0}

\frac{-9x^2 + 8}{x(2x + 1)(x - 5)}\leq 0

\frac{9x^2 - 8}{x(2x + 1)(x - 5)} \geq 0

Numeratore:

le soluzioni dell'equazione associata sono

x = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}

x \leq - \frac{2\sqrt{2}}{3} \cup x \geq\frac{2\sqrt{2}}{3}

Nel prodotto grafico indichiamo queste soluzioni come x_1 e x_2

Denominatore:

--- (-1/2) --- (0) +++ (5) +++

+++ (-1/2) --- (0) --- (5) +++

-1/2 < x < 0 \cup x > 5

Prodotto grafico tra numeratore e denominatore:

+++ (x_1) --- (-1/2) --- (0) --- (x_2) +++ (5) +++

--- (x_1) --- (-1/2) +++ (0) --- (x_2) --- (5) +++

La disequazione ha assunto verso positivo ed è verificata negli intervalli di segno positivo:

-\frac{2\sqrt{2}}{3} \leq x < -1/2 \cup 0 < x \leq \frac{2\sqrt{2}}{3} \cup x > 5
Ringraziano: Pi Greco, 21zuclo

Disequazione fratta e irrazionale #29922

avt
depe_
Cerchio
Grazie mille! Non so veramente come ringraziarti.. emt
Ringraziano: Omega, Danni

Disequazione fratta e irrazionale #29930

avt
Danni
Sfera
Di nulla, se hai bisogno di altro siamo qui emt
Ringraziano: Omega
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Os