Espressione letterale con quadrato di trinomio da semplificare

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Espressione letterale con quadrato di trinomio da semplificare #29613

avt
Francy91
Punto
Non so come svolgere un'espressione polinomiale a esponenti letterali nella quale compare il quadrato di un trinomio. Ho tentato di semplificarla più e più volte, senza riuscirci. Potreste darmi una mano?

Semplificare la seguente espressione, usando gli opportuni prodotti notevoli.

[(x^2-x+x^n)^2-2x^(n)(x^n+x^2-x)-x^2(x-1)^2]^2

Grazie.
 
 

Espressione letterale con quadrato di trinomio da semplificare #29617

avt
Ifrit
Amministratore
Prima di semplificare l'espressione polinomiale

[(x^2-x+x^n)^2-2x^(n)(x^n+x^2-x)-x^2(x-1)^2]^2

conviene sviluppare a parte il quadrato di trinomio

(x^2-x+x^n)^2

usando il prodotto notevole

(A+B+C)^2 = A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC

Esso consente di scrivere il quadrato della somma di tre termini come l'esanomio (polinomio di sei termini) formato dal quadrato del primo termine, dal quadrato del secondo, dal quadrato del terzo termine, a cui aggiungiamo il doppio prodotto del primo termine per il secondo, il doppio prodotto del primo per il terzo e il doppio prodotto del secondo per il terzo termine.

Il trinomio base di (x^2-x+x^n)^2 è composto dai monomi:

A = x^2 , B = -x , C = x^(n)

per cui il prodotto notevole conduce all'uguaglianza:

(x^2+(-x)+x^(n))^2 = (x^2)^2+(-x)^2+(x^n)^2+2·x^2·(-x)+2·x^2·x^(n)+2·(-x)·x^n =

Svolgiamo le operazioni tra i monomi, avvalendoci sia delle proprietà delle potenze, sia della regola dei segni.

= x^(2·2)+x^(2)+x^(2·n)-2x^(2+1)+2x^(2+n)-2x^(n+1) = x^(4)+x^2+x^(2n)-2x^(3)+2x^(n+2)-2x^(n+1)

Sostituiamo lo sviluppo nell'espressione letterale

[(x^2-x+x^n)^2-2x^(n)(x^n+x^2-x)-x^2(x-1)^2]^2 = [x^(4)+x^2+x^(2n)-2x^(3)+2x^(n+2)-2x^(n+1)-2x^(n)(x^n+x^2-x)-x^2(x-1)^2]^2 =

e continuiamo con i calcoli: esplicitiamo il quadrato di binomio (x-1)^2

= [x^(4)+x^2+x^(2n)-2x^(3)+2x^(n+2)-2x^(n+1)-2x^(n)(x^n+x^2-x)-x^2(x^2-2x+1)]^2 =

svolgiamo i prodotti, prestando la massima attenzione ai segni

= [x^(4)+x^2+x^(2n)-2x^(3)+2x^(n+2)-2x^(n+1)-2x^(2n)+2x^(n+1)-2x^(n+2)-x^2+2x^3-x^4]^2 =

e infine sommiamo tra loro i monomi con la stessa parte letterale

= [(1-1)x^4+(1-1)x^2+(1-2)x^(2n)+(2-2)x^(3)+(2-2)x^(n+2)+(-2+2)x^(n+1)]^2 = [-x^(2n)]^2 = x^(2n·2) = x^(4n)

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Francy91
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Os