Risolvere un'equazione razionale fratta con prodotti

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Risolvere un'equazione razionale fratta con prodotti #29394

avt
amath
Punto
Dovrei risolvere un esercizio in cui mi viene chiesto di calcolare le soluzioni di un'equazione fratta di grado superiore al secondo. Non so proprio da dove iniziare, ecco perché chiedo il vostro intervento.

Determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione fratta

\frac{(x^6-1)(x^4+1)(x^2-2)}{(x^4-3x^2+2)(x^5+1)}=0

Cosa devo fare? Grazie.
 
 

Risolvere un'equazione razionale fratta con prodotti #29505

avt
Danni
Sfera
Prima di determinare le eventuali soluzioni dell'equazione fratta

\frac{(x^6-1)(x^4+1)(x^2-2)}{(x^4-3x^2+2)(x^5+1)}=0

bisogna innanzitutto imporre le dovute condizioni di esistenza. Affinché l'equazione non perda di significato, è necessario richiedere che il denominatore sia diverso da zero, vale a dire:

C.E.:\ (x^4-3x^2+2)(x^5+1)\ne 0

Analizziamola utilizzando la legge di annullamento del prodotto grazie alla quale ci riconduciamo alle relazioni

x^4-3x^2+2\ne 0 \ \ \ \wedge \ \ \ x^5+1\ne 0

La prima può essere risolta con la strategia adottata per le equazioni biquadratiche: in termini più espliciti, bisognerà escludere i valori di x, che soddisfano l'equazione

x^4-3x^2+2=0

Poniamo quindi t=x^2 cosicché

x^4-3x^2+2= 0

diventi

t^2-3t+2= 0

Calcoliamo a questo punto il discriminante associato con la formula

\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1

e infine determiniamo le soluzioni

t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3\pm 1}{2}=\begin{cases}1=t_1 \\ \\ 2=t_2\end{cases}

L'equazione in t ammette quindi due soluzioni

t=1 \ \ \ , \ \ \ t=2

Ripristiniamo l'incognita x: poiché t=x^2, allora t=1 diventa

x^2=1 \ \ \ \to  \ \ \ x=-1 \ \ \ \vee \ \ \ x=1

mentre la relazione t=2 si traduce nell'equazione pura

x^2=2 \ \ \ \to \ \ \ x=-\sqrt{2} \ \ \ \vee \ \ \ x=\sqrt{2}

Attenzione: ribadiamo che i valori ottenuti devono essere esclusi perché annullano il denominatore dell'equazione di partenza!

La relazione x^5+1\ne 0 può essere risolta trattandola alla stregua di un'equazione binomia di grado 5, effettuando cioè i passaggi

x^5+1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x^5\ne -1 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -1

Con le informazioni in nostro possesso, possiamo affermare che l'insieme di esistenza dell'equazione fratta è

C.E.:\ x\ne \pm\sqrt{2} \ \ \wedge \ \ x\ne \pm 1

Se l'incognita x rispetta tali vincoli, siamo autorizzati a cancellare il denominatore di

\frac{(x^6-1)(x^4+1)(x^2-2)}{(x^4-3x^2+2)(x^5+1)}=0

e considerare l'equazione equivalente

(x^6-1)(x^4+1)(x^2-2)=0

In virtù della legga di annullamento del prodotto, il prodotto al primo membro è zero se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è zero: consideriamo pertanto le seguenti relazioni

x^6-1=0 \ \ \vee \ \ x^4+1=0 \ \ \vee \ \ x^2-2=0

e risolviamole separatamente dalla prima.

x^6-1=0

è un'equazione binomia di grado sei ed è soddisfatta da x=\pm 1, infatti:

x^6-1=0 \ \ \ \to \ \ \ x^6=1 \ \ \ \to \ \ \ x=\pm 1

Occupiamoci della seconda, ossia:

x^4+1=0

Tale equazione non ammette soluzioni perché al primo membro compare una somma tra una potenza con esponente pari (quindi non negativa) e una quantità positiva.

Occupiamoci dell'ultima, ossia

x^2-2=0\ \ \ \to \ \ \ x^2=2

A conti fatti un'equazione pura, soddisfatta per

x=-\sqrt{2} \ \ \ \vee \ \ \ x=\sqrt{2}

Purtroppo nessuno dei valori ottenuti rispetta le condizioni di esistenza, ergo l'equazione fratta non ammette alcuna soluzione ed è pertanto impossibile. In definitiva, l'insieme delle soluzioni di

\frac{(x^6-1)(x^4+1)(x^2-2)}{(x^4-3x^2+2)(x^5+1)}=0

coincide con l'insieme vuoto: S=\emptyset.
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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