Disequazione da risolvere con il confronto grafico, esercizio

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Disequazione da risolvere con il confronto grafico, esercizio #293

avt
ely
Cerchio
Salve, vi chiedo una mano per un esercizio che mi chiede di risolvere una disequazione con il metodo del confronto grafico.

La disequazione che devo risolvere è questa

(1/3)(2x-5) >= |log in base 2 e argomento (x) -1|

Grazie in anticipo!
 
 

Disequazione da risolvere con il confronto grafico, esercizio #302

avt
Alpha
Cerchio
Ciao Ely,

proviamo a risolvere questa disequazione (bruttissima)...

\frac{1}{3}(2x-5)\geq |\log_{2}{(x)}-1|


Condizioni di esistenza:


x>0



liberiamoci del modulo: studiamo il segno dell'argomento del modulo per poi discutere separatamente i casi in cui sia maggiore o minore di zero.



\log_{2}{(x)}-1\geq 0



\log_{2}{(x)}\geq 1



x\geq 2



Ora non ci resta che risolvere separatamente i due sistemi:

\left\{\begin{matrix}x\geq 2 \\ \frac{1}{3}(2x-5)\geq \log_{2}{(x)}-1\end{matrix}


e

\left\{\begin{matrix}x< 2 \\ \frac{1}{3}(2x-5)\geq -\log_{2}{(x)}+1\end{matrix}



Dove nel primo sotto l'ipotesi che rende positivo l'argomento del modulo abbiamo lasciato il segno dell'argomento invariato, mentre nel secondo, l'abbiamo cambiato, dato che la condizione x<1 implica che log2(x)-1 è negativo.

Occupiamoci del primo sistema:


\left\{\begin{matrix}x\geq 2 \\ \frac{1}{3}(2x-5)\geq \log_{2}{(x)}-1\end{matrix}



scriviamo meglio la seconda disequazione


\left\{\begin{matrix}x\geq 2 \\ \frac{2}{3}x-\frac{5}{3}+1\geq \log_{2}{(x)}\end{matrix}



cioè

\left\{\begin{matrix}x\geq 2 \\ \frac{2}{3}x-\frac{2}{3}\geq \log_{2}{(x)}\end{matrix}



Ora il modo migliore per risolvere la disequazione logaritmica è usare il confronto grafico: a sinistra c'è una retta, mentre a destra un logaritmo, disegnandoli ti accorgerai che sia la retta che il logaritmo passano per il punto (1,0) e che tra 0 e 1 la retta sta sopra al logaritmo, quindi una parte delle soluzioni della disequazione è proprio

0<x\leq 1


Il logaritmo è crescente, ma sicuramente non va all'infinito tanto veloce quanto una retta, quindi, a un certo punto (cioè da una certa x in avanti), la retta tornerà sopra al logaritmo.

Guardando bene la disequazione si vede come questo punto sia x=4, proviamo a sostituirlo:

\frac{2}{3}4-\frac{2}{3}\geq \log_{2}{(4)}



\frac{8}{3}-\frac{2}{3}\geq 2



2\geq 2


dunque non solo la disuguaglianza è verificata, ma addirittura è verificata l'uguaglianza. Questo significa che proprio nel punto di ascissa 4 la retta incontra nuovamente il logaritmo e lo sorpassa.

Quindi abbiamo che la retta sta sopra al logaritmo anche per


x\geq 4



In particolare le soluzioni della disequazione sono date da


0<x\leq 1 \vee x\geq 4


Intersechiamo le soluzioni della disequazione con la prima disuguaglianza del sistema, otteniamo


x\geq 4



Procediamo con il secondo sistema:


\left\{\begin{matrix}x< 2 \\ \frac{1}{3}(2x-5)\geq -\log_{2}{(x)}+1\end{matrix}



Il procedimento sostanzialmente è lo stesso, ma cambia la retta da disegnare


\left\{\begin{matrix}x< 2 \\ -\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}\leq \log_{2}{(x)}+1\end{matrix}


In questo caso dobbiamo capire dove il logaritmo sta sopra alla retta. Non abbiamo altra scelta se non fare ancora un confronto grafico.

Nel caso precedente siamo stati abbastanza fortunati, ma non sempre è possibile trovare il punto esatto in cui le due funzioni si toccano, in questo caso possiamo accontentarci di una stima:

prima di tutto la retta è monotona decrescente (il coeff angolare è negativo), mentre il logaritmo è crescente, dunque esiste sicuramente un punto in cui la retta passa sotto al logaritmo. In particolare questo punto sarà compreso tra 2 e 4. Perché? Basta fare qualche valutazione:

Valutiamo sia la retta che la funzione nel punto x=2:


-\frac{2}{3}2+\frac{8}{3}=\frac{4}{3}


\log_{2}{(2)}=1


poiché 4/3>1 sappiamo che al punto di ascissa 2 la retta sta ancora sopra al logaritmo.

Valutiamo ancora in x=4, se troviamo che la retta sta sotto al logaritmo, cioè che la valutazione sulla retta è un numero più piccolo di quello che otterremo valutando il logaritmo, sapremo con certezza che la retta passa sotto al logaritmo tra 2 e 4. La monotonia di entrambe le funzioni, ti ricordo una decrescente (la retta), e una crescente (il log), ci garantisce che le retta non potrà mai tornare ad essere più grande del logaritmo una volta che c'è passata sotto.

Procediamo con la valutazione:


-\frac{2}{3}4+\frac{8}{3}=0


\log_{2}{(4)}=2



Abbiamo ottenuto quello che cercavamo! La retta passa sotto al logaritmo e per il discorso che abbiamo fatto prima non può tornare sopra di esso.

Confrontiamo il risultato ottenuto con le condizioni di esistenza. x deve essere strettamente minore di 2, ma abbiamo appena mostrato che è maggiore di 2, per esattezza compreso strettamente tra 2 e 4, quindi questo secondo sistema non ha soluzioni.

L'ultimo passaggio è sempre unire le soluzioni dei due sistema, ma dato che il secondo non ne ha, la soluzione finale rimane esattamente quella del primo sistema:

x\geq 4



Ecco fatto Ely!
Ringraziano: CarFaby
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Os