Problema d'ottimizzazione #29111

avt
yasmab
Cerchio
Ciao a tutti. Avrei un problema di ottimizzazione (programmazione lineare) che non ho saputo risolvere. Eccolo qua:

Una persona dispone di un camion che può caricare al massimo 5 tonnellate, con una capacità massima di 10m^3. Gli proponiamo di trasferire verso una destinazione delle merci M1 e M2, per le quali gli offriamo 30 €/t per M1 e 20 €/t per M2. I pesi specifici sono di 1 t/m^3 per M1 e di 0,25 t/m^3 per M2.

Come dovrà caricare il suo camion per ottenere il miglior risultato?

Grazie.
 
 

Re: Problema d'ottimizzazione #29151

avt
kameor
Sfera
ciao,

io utilizzeri come variabili x e y che rappresentano rispettivamente le tonnelate di materiale M1 e M2,

la funzione obbiettivo da massimizzare è il profitto:
\max 30x + 20y

con i seguenti vincoli:
{tex}
\begin{cases}
x + y \le 5 \\
x + 4y \le 10 \\
x \ge 0 \\
y \ge 0 \\
\end{cases}
{/tex}

in particolare per il secondo vincolo ho usato gli inversi dei pesi specifici dei materiali, in questo modo moltiplicando per le tonnellate ottengo il volume occupato.

essendo un problema di ottimizzazione lineare la soluzione ottima si trova sui vertici del poligono che definisce la regione ammissibile.

fare il disegno è molto utile per rendersi conto di come è fatta questa regione:
Immagine


per calcolare i vertici basta intersecare le rette:
{tex}
\begin{cases}
y = 0 \\
x + y = 5
\end{cases}
{/tex}

sol.  x = 5

{tex}
\begin{cases}
x = 0 \\
x + 4y = 10
\end{cases}
{/tex}

sol.  y = 5/2

{tex}
\begin{cases}
x + y = 5 \\
x + 4y = 10
\end{cases}
{/tex}

sol.  x = 10/3,\; y = 5/3

e infine calcoli la funzione obbiettivo in questi 3 punti per trovare quelli che restituiscono il valore maggiore (dovrebbe essere x = 5 e y = 0).
Ringraziano: Omega, Pi Greco, thejunker, yasmab
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