Disequazione mista da risolvere con confronto grafico

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Disequazione mista da risolvere con confronto grafico #290

avt
ely
Cerchio
Ciao a tutti, non riesco a risolvere una disequazione mista che devo risolvere con il confronto grafico.

La disequazione l'ho chiamata mista perché presenta una radice, un logaritmo e un modulo. E' questa qui

\sqrt{x}+\log_{2}{\left(\left|x-1\right|+1\right)}\geq 1

Grazie in anticipo! emt
 
 

Disequazione mista da risolvere con confronto grafico #301

avt
Omega
Amministratore
La disequazione che ci proponi va risolta con il metodo del confronto grafico, di cui parliamo nella guida sulle disequazioni trascendenti.

Intanto riscriviamo la disequazione come

\log_{2}\left{(\left|x-1\right|+1\right)}\geq 1-\sqrt{x}

Tentare di risolverla con i calcoli è semplicemente una follia. Dobbiamo ragionare in un altro modo e guardare le funzioni che compaiono nella disequazione.

Intanto conoscere il comportamento delle funzioni elementari è di grande aiuto, le puoi trovare nella pagina del link.


Primo: condizioni di esistenza.

Affinché esista il logaritmo, l'argomento deve essere maggiore di zero, e affinché esista la radice, l'argomento deve essere maggiore o uguale a zero. Le due condizioni vanno messe a sistema:

\left\{\begin{matrix}|x-1|+1>0\\ x\geq 0\end{matrix}

cioè

\left\{\begin{matrix}|x-1|>-1\\ x\geq 0\end{matrix}

La prima disequazione è sempre verificata, perché il valore assoluto è positivo o alla peggio uguale a zero e quindi è sempre maggiore di una quantità negativa. La soluzione del sistema è

x\geq 0


Secondo: |x-1| è una funzione decrescente prima di x=1, crescente dopo x=1. Il logaritmo in base 2 è una funzione strettamente crescente sul suo dominio, e in particolare la funzione

\log_{2}\left{(\left|x-1\right|+1\right)}

è simmetrica rispetto al punto x=1. Inoltre la composizione di una funzione strettamente crescente (prima) con una funzione strettamente crescente (poi) è strettamente crescente.
Quindi per x>1 la funzione a sinistra del simbolo di disuguaglianza è strettamente crescente. Essendo la funzione simmetrica rispetto al punto x=1, ne deduciamo che prima del punto x=1 è decrescente.

Ora guardiamo la funzione a destra, che è data da

1-\sqrt{x}

\sqrt{x} è una funzione crescente, quindi -\sqrt{x} è una funzione decrescente sul suo dominio. Anche 1-\sqrt{x} è strettamente decrescente sul suo dominio, perché abbiamo solamente sommato una costante. Dai un'occhiata a questa lezione: metodo del grafico intuitivo.


Terzo: tiriamo le somme. Il dominio è x\geq 0, chiamiamo

f(x)=\log_{2}\left{(\left|x-1\right|+1\right)}

e

g(x)=1-\sqrt{x}

in x=0 le due funzioni valgono f(0)=1 e g(x)=1. Tra 0 e 1 f(x) decresce, g(x) decresce. Ne concludiamo che per

0\leq x <1 risulta che f(x)>g(x)

e per vederlo ti basta osservare che per 0<x<1 la funzione f(x) assume valori più grandi della funzione g(x). (***)

Quindi 0\leq x <1 fa parte della soluzione della disequazione.

Dopo x=1 f(x) cresce e g(x) decresce. Nel punto x=1 le due funzioni si incontrano: f(1)=0=g(1), quindi f(x) sta sempre al di sopra di g(x), ossia per

x\geq 1 risulta che f(x)>g(x)

e quindi la soluzione della disequazione è: x\geq0.


(***) Se sei in quinta liceo, puoi studiare le derivate delle due funzioni per capire quale decresce più velocemente tra 0 e 1. Se invece non sai nulla delle derivate, allora ti basta fare due o tre valutazioni tra 0 e 1: questo non è un ragionamento rigoroso, ma può andare bene lo stesso!
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Os