Equazione goniometrica lineare con le formule parametriche

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Equazione goniometrica lineare con le formule parametriche #28966

avt
Volpi
Frattale
Dovrei risolvere un'equazione lineare in seno e coseno sfruttando le formule parametriche. Secondo il testo, l'equazione dovrebbe essere impossibile, però non mi è chiaro come ciò sia possibile visto che ottengo due soluzioni: probabilmente commetto errori di calcolo, per questo chiedo il vostro intervento.

Determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione lineare in seno e coseno

sin(x)+2cos(x)-6 = 0

usando le formule parametriche.
 
 

Equazione goniometrica lineare con le formule parametriche #28975

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio chiede di esplicitare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione lineare in seno e coseno

sin(x)+2cos(x)-6 = 0

avvalendoci del metodo algebrico, che consiste nell'usare le formule parametriche.

Posto

t = tan((x)/(2)) con x ne π+2kπ

siamo in grado di esprimere seno e coseno in termini della variabile ausiliaria t mediante le relazioni

sin(x) = (2t)/(1+t^2) , cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2)

Grazie a queste uguaglianze, l'equazione data diventa

(2t)/(1+t^2)+2·(1-t^2)/(1+t^2)-6 = 0

vale a dire un'equazione fratta di secondo grado nell'incognita t. Per ricavare le sue soluzioni, sommiamo le frazioni algebriche al primo membro

(2t+2(1-t^2)-6(1+t^2))/(1+t^2) = 0

dopodiché cancelliamo il denominatore comune e scriviamo l'equazione equivalente

2t+2(1-t^2)-6(1+t^2) = 0

Esplicitiamo i prodotti e sommiamo in seguito i monomi simili

-8t^2+2t-4 = 0

da cui cambiando i segni e dividendo ciascun addendo per 2

4t^2-t+2 = 0

Essa è un'equazione di secondo grado con coefficienti

a = 4 , b = -1 , c = 2

il cui discriminante associato è negativo, infatti

Δ = b^2-4ac = (-1)^2-4·4·2 = -31

La negatività del delta garantisce l'impossibilità dell'equazione di secondo grado in t, di conseguenza anche l'equazione data è impossibile e in quanto tale il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto, ossia:

S = Ø

Abbiamo finito.
Ringraziano: Volpi
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Os