Risolvere un sistema lineare 2x2 con il metodo di riduzione

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Risolvere un sistema lineare 2x2 con il metodo di riduzione #28796

avt
AntonioD
Frattale
Mi servirebbe il vostro aiuto per risolvere un sistema di equazioni a coefficienti fratti, sfruttando il metodo di riduzione: di tutti i metodi è quello che non riesco a usare correttamente. Potreste usare il seguente esercizio per spiegarmelo, per favore?

Usare il metodo di riduzione per determinare l'insieme soluzione associato al sistema lineare

\begin{cases}\dfrac{x}{3}+\dfrac{1-2y}{2}=1\\ \\ 2x-3y=0\end{cases}

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco
 
 

Risolvere un sistema lineare 2x2 con il metodo di riduzione #29274

avt
matteo
Sfera
Consideriamo il sistema lineare

\begin{cases}\dfrac{x}{3}+\dfrac{1-2y}{2}=1\\ \\ 2x-3y=0\end{cases}

Il nostro compito consiste nell'usare il metodo di riduzione per ricavare le coppie (x,y) le cui coordinate soddisfano contemporaneamente le equazioni del sistema.

Prima di innescare il metodo, è fondamentale esprimere i termini della prima relazione a denominatore comune

\begin{cases}\dfrac{2x+3(1-2y)}{6}=\dfrac{6}{6}\\ \\ 2x-3y=0\end{cases}

dopodiché si moltiplica a destra e a sinistra per 6 per ricavare il sistema equivalente

\begin{cases}2x+3(1-2y)=6\\ \\ 2x-3y=0\end{cases}

Portiamo a termine i semplici calcoli e riportiamo il sistema in forma canonica:

\begin{cases}2x-6y=3\\ \\ 2x-3y=0\end{cases}

Inneschiamo il metodo di riduzione: esso prevede di moltiplicare una delle due equazioni per far sì che i coefficienti di un'incognita (x\ \mbox{o} \ y che sia) siano opposti. Moltiplichiamo per -1 i termini della seconda relazione

\begin{cases}2x-6y=3\\ \\ -2x+3y=0\end{cases}

dopodiché sostituiamola con l'equazione che ha al primo membro la somma dei primi membri e per secondo membro la somma dei secondo membri del sistema:

\begin{cases}2x-6y=3\\ \\2x-6y -2x+3y=3+0\end{cases}

Sommati i monomi simili e cancellati i termini opposti, la seconda relazione si tramuta in un'equazione di primo grado nella sola incognita y

\begin{cases}2x-6y=3\\ \\-3y =3\end{cases}

Dividiamo i due membri della seconda equazione per -3 così da esplicitare il valore che deve assumere y

\begin{cases}2x-6y=3\\ \\y =-\dfrac{3}{3}=-1\end{cases}

Sebbene nessuno ci impedisca di calcolare x con il metodo della sostituzione, preferiamo riprendere il sistema in forma normale

\begin{cases}2x-6y=3\\ \\ 2x-3y=0\end{cases}

e riutilizzare il metodo di riduzione: in questa occasione, ricerchiamo il fattore moltiplicativo per fare in modo che i coefficienti di y siano opposti.

Se moltiplichiamo i termini della seconda equazione per -2, il sistema diventa

\begin{cases}2x-6y=3\\ \\ -4x+6y=0\end{cases}

Rimpiazziamo la seconda relazione con l'equazione avente per primo membro la somma dei primi membri e per secondo la somma dei secondi membri delle equazioni del sistema:

\begin{cases}2x-6y=3\\ \\ 2x-6y-4x+6y=3+0\end{cases}

Svolti i calcoli, ci riconduciamo a:

\begin{cases}2x-6y=3\\ \\ -2x=3\end{cases}

Si noti che la seconda è un'equazione di primo grado nella sola incognita x, il cui valore si ottiene dividendo i due membri per -2

\begin{cases}2x-6y=3\\ \\ x=-\dfrac{3}{2}\end{cases}

Alla luce delle informazioni ottenute, siamo autorizzati a concludere che il sistema lineare

\begin{cases}\dfrac{x}{3}+\dfrac{1-2y}{2}=1\\ \\ 2x-3y=0\end{cases}

è determinato e la sua soluzione (unica) è

(x,y)=\left(-\frac{3}{2},-1\right)

Ecco fatto!
Ringraziano: AntonioD
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Os