Risolvere un sistema lineare 2x2 con il metodo di riduzione

Mi servirebbe il vostro aiuto per risolvere un sistema di equazioni a coefficienti fratti, sfruttando il metodo di riduzione: di tutti i metodi è quello che non riesco a usare correttamente. Potreste usare il seguente esercizio per spiegarmelo, per favore?

Usare il metodo di riduzione per determinare l'insieme soluzione associato al sistema lineare



Grazie.

Consideriamo il sistema lineare



Il nostro compito consiste nell'usare il metodo di riduzione per ricavare le coppie le cui coordinate soddisfano contemporaneamente le equazioni del sistema.

Prima di innescare il metodo, è fondamentale esprimere i termini della prima relazione a denominatore comune



dopodiché si moltiplica a destra e a sinistra per 6 per ricavare il sistema equivalente



Portiamo a termine i semplici calcoli e riportiamo il sistema in forma canonica:



Inneschiamo il metodo di riduzione: esso prevede di moltiplicare una delle due equazioni per far sì che i coefficienti di un'incognita ( che sia) siano opposti. Moltiplichiamo per -1 i termini della seconda relazione



dopodiché sostituiamola con l'equazione che ha al primo membro la somma dei primi membri e per secondo membro la somma dei secondo membri del sistema:



Sommati i monomi simili e cancellati i termini opposti, la seconda relazione si tramuta in un'equazione di primo grado nella sola incognita



Dividiamo i due membri della seconda equazione per così da esplicitare il valore che deve assumere



Sebbene nessuno ci impedisca di calcolare con il metodo della sostituzione, preferiamo riprendere il sistema in forma normale



e riutilizzare il metodo di riduzione: in questa occasione, ricerchiamo il fattore moltiplicativo per fare in modo che i coefficienti di siano opposti.

Se moltiplichiamo i termini della seconda equazione per -2, il sistema diventa



Rimpiazziamo la seconda relazione con l'equazione avente per primo membro la somma dei primi membri e per secondo la somma dei secondi membri delle equazioni del sistema:



Svolti i calcoli, ci riconduciamo a:



Si noti che la seconda è un'equazione di primo grado nella sola incognita , il cui valore si ottiene dividendo i due membri per -2



Alla luce delle informazioni ottenute, siamo autorizzati a concludere che il sistema lineare



è determinato e la sua soluzione (unica) è



Ecco fatto!