Scomporre un polinomio come quadrato di trinomio

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Scomporre un polinomio come quadrato di trinomio #28710

avt
Maxpower
Banned
Ho bisogno di una mano per risolvere un esercizio sulla scomposizione di polinomi. Mi viene chiesto di fattorizzare un polinomio con un opportuno prodotto notevole. Le mie perplessità non risiedono tanto su quale prodotto usare - quadrato di un trinomio -, quanto ai segni da attribuire ai termini del trinomio base.

Scomporre il seguente polinomio con l'opportuno prodotto notevole.

a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc

Grazie.
 
 

Scomporre un polinomio come quadrato di trinomio #28715

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nello scomporre il polinomio

a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc

Per portarlo a termine, possiamo avvalerci della regola sul quadrato di trinomio:

A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC=(A+B+C)^2

Essa rappresenta il prodotto notevole che consente di scomporre un polinomio formato dalla somma dei quadrati di tre monomi aumentata del doppio prodotto di ciascun monomio per ognuno dei seguenti come il quadrato del trinomio somma dei tre monomi.

Dal punto di vista pratico, per usare il prodotto notevole occorre individuare i termini quadratici e associare a ciascuno le relative basi. I segni da attribuire alle basi dipendono dai segni dei doppi prodotti.

Nel caso considerato a^2,\  b^2 \ \mbox{e} \  c^2 sono i quadrati, mentre -2ab, \ -2ac \ \mbox{e} \ 2bc rappresentano i doppi prodotti. In particolare:

- il monomio -2ab è il doppio prodotto tra il primo e il secondo termine. Essi hanno coefficienti discordi perché il coefficiente del doppio prodotto (-2) è negativo.

- Il monomio -2ac è il doppio prodotto tra il primo e il secondo termine. Essi hanno coefficienti discordi perché il coefficiente del doppio prodotto (-2) è negativo.

- Il monomio 2bc è il doppio prodotto tra il secondo e terzo termine. Poiché ha coefficiente positivo, il due termini devono necessariamente avere coefficienti concordi.

Semplificando, la base di a^2 è discorde con la base di b^2 e con la base di c^2, mentre sono concordi la base di b^2 e quella di c^2. In definitiva:

A=a \ \ \ , \ \ \ B=-b \ \ \ \mbox{e} \ \ \ C=-c

e grazie al prodotto notevole, concludiamo che la scomposizione del polinomio è:

a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc=(a-b-c)^2

Si noti che avremmo potuto scegliere come basi anche -a, \ b\ \mbox{e} \ c e scrivere la scomposizione equivalente:

a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc=(-a+b+c)^2

Abbiamo finito.
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Os