Equazione trigonometrica riconducibile al secondo grado in seno e coseno

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Equazione trigonometrica riconducibile al secondo grado in seno e coseno #28563

avt
paul spider
Cerchio
In un esercizio mi viene chiesto di determinare le soluzioni di un'equazione goniometrica che a quanto pare si riconduce a un'equazione di secondo grado in termini di seno e coseno nel caso in cui si usano alcune formule goniometriche. Sebbene io abbia tentato, non sono stato in grado né di semplificare l'equazione né tanto meno di ricavare le soluzioni.

Risolvere la seguente equazione goniometrica riconducendola a una di secondo grado in seno e coseno

2\sin^2(x)+2\cos(2x)+\sin(2x)=0

Grazie.
Ringraziano: Pi Greco, Danni
 
 

Equazione trigonometrica riconducibile al secondo grado in seno e coseno #28568

avt
Pi Greco
Kraken
Consideriamo l'equazione goniometrica

2\sin^2(x)+2\cos(2x)+\sin(2x)=0

e osserviamo immediatamente che sono presenti seni e coseni che però non hanno il medesimo argomento. Ciò ci deve suggerire di applicare le opportune formule goniometriche, come ad esempio le formule di duplicazione del seno e del coseno

\\ \sin(2x)=2\cos(x)\sin(x) \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R} \\ \\ \\ \cos(2x)=1-2\sin^2(x) \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

Grazie a tali relazioni, l'equazione diventa

\\ 2\sin^2(x)+2(1-2\sin^2(x))+2\sin(x)\cos(x)=0 \\ \\ 2\sin^2(x)+2-4\sin^2(x)+2\sin(x)\cos(x)=0

da cui

\\ 2-2\sin^2(x)+2\sin(x)\cos(x)=0 \\ \\ 2(1-\sin^2(x))+2\sin(x)\cos(x)=0

In virtù della relazione fondamentale della goniometria

1-\sin^2(x)=\cos^2(x) \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

di conseguenza l'equazione diventa

2\cos^2(x)+2\sin(x)\cos(x)=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno che risolviamo raccogliendo il fattore comune 2\cos(x)

2\cos(x)(\cos(x)+\sin(x))=0

e sfruttando con dovizia la legge di annullamento del prodotto. Quest'ultima garantisce che il prodotto al primo membro vale zero nel momento in cui almeno uno dei fattori che lo compongono vale zero. In termini più espliciti dobbiamo impostare e risolvere le seguenti equazioni:

2\cos(x)=0 \ \ \ \ ,\ \ \ \cos(x)+\sin(x)=0

Dalla prima

2\cos(x)=0\ \ \ \to \ \ \ \cos(x)=0

otteniamo la famiglia di soluzioni

x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

La seconda

\cos(x)+\sin(x)=0

richiede qualche passaggio in più. A conti fatti siamo in presenza di un'equazione goniometrica lineare omogenea che risolviamo isolando il seno al primo membro

\sin(x)=-\cos(x)

e dividendo in seguito per \cos(x) a destra e a sinistra

\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=-1

In base alla definizione di tangente, infine, otteniamo

\tan(x)=-1

vale a dire un'equazione goniometrica elementare, soddisfatta dai valori

x=\frac{3\pi}{4}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

In conclusione le soluzioni di

2\sin^2(x)+2\cos(2x)+\sin(2x)=0

sono

\\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \\ \\ \\ x=\frac{3\pi}{4}+k\pi

dove k è un qualsiasi numero intero.

Abbiamo finito!
Ringraziano: paul spider
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Os