Espressione letterale con somme di polinomi

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Espressione letterale con somme di polinomi #28505

avt
FAQ
Punto
Chiedo il vostro aiuto per semplificare un'espressione algebrica formata da somma di polinomi a coefficienti fratti. Non ho riscontrato problemi con gli altri esercizi dello stesso tipo, però questo mi dà del filo da torcere.

Semplificare la seguente espressione algebrica.

\left[\left(\frac{1}{2}a^2b+\frac{1}{3}b\right)+\left(\frac{1}{3}ab^2+\frac{1}{6}b\right)\right]+\left[\left(\frac{1}{4}a^2b-\frac{1}{6}ab^2\right)+\frac{1}{4}b\right]

Grazie.
Ringraziano: Omega
 
 

Espressione letterale con somme di polinomi #28510

avt
Ifrit
Amministratore
Per portare a termine il nostro compito, ossia semplificare l'espressione

\left[\left(\frac{1}{2}a^2b+\frac{1}{3}b\right)+\left(\frac{1}{3}ab^2+\frac{1}{6}b\right)\right]+\left[\left(\frac{1}{4}a^2b-\frac{1}{6}ab^2\right)+\frac{1}{4}b\right]=

basta eseguire le addizioni tra i polinomi all'interno delle parentesi, le quali dettano l'ordine con cui svolgere le operazioni.

Iniziamo dalla somma di polinomi interna alla prima coppia di parentesi quadre:

=\left[\frac{1}{2}a^2b+\frac{1}{3}b+\frac{1}{3}ab^2+\frac{1}{6}b\right]+\left[\left(\frac{1}{4}a^2b-\frac{1}{6}ab^2\right)+\frac{1}{4}b\right]=

Se osserviamo attentamente, nella prima coppia di parentesi quadre, gli unici monomi simili sono \frac{1}{3}b \ \mbox{e} \ \frac{1}{6}b e sommando tra loro i coefficienti, l'espressione diventa

\\ =\left[\frac{1}{2}a^2b+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)b+\frac{1}{3}ab^2\right]+\left[\left(\frac{1}{4}a^2b-\frac{1}{6}ab^2\right)+\frac{1}{4}b\right]= \\ \\ \\ =\left[\frac{1}{2}a^2b+\left(\frac{2+1}{6}\right)b+\frac{1}{3}ab^2\right]+\left[\left(\frac{1}{4}a^2b-\frac{1}{6}ab^2\right)+\frac{1}{4}b\right]=

da cui, sommando 2 e 1, ricaviamo:

=\left[\frac{1}{2}a^2b+\frac{3}{6}b+\frac{1}{3}ab^2\right]+\left[\left(\frac{1}{4}a^2b-\frac{1}{6}ab^2\right)+\frac{1}{4}b\right]=

Riduciamo ai minimi termini la frazione \frac{3}{6} e, in contemporanea, eliminiamo le parentesi tonde nella seconda coppia di parentesi quadre.

=\left[\frac{1}{2}a^2b+\frac{1}{2}b+\frac{1}{3}ab^2\right]+\left[\frac{1}{4}a^2b-\frac{1}{6}ab^2+\frac{1}{4}b\right]=

A conti fatti, ci siamo ricondotti al calcolo della somma dei seguenti polinomi

\frac{1}{2}a^2b+\frac{1}{2}b+\frac{1}{3}ab^2 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \frac{1}{4}a^2b-\frac{1}{6}ab^2+\frac{1}{4}b

Per portarla a termine, cancelliamo le parentesi quadre

=\frac{1}{2}a^2b+\frac{1}{2}b+\frac{1}{3}ab^2+\frac{1}{4}a^2b-\frac{1}{6}ab^2+\frac{1}{4}b=

dopodiché sommiamo tra loro i coefficienti dei monomi simili

=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)a^2b+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)b+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)ab^2=

Esplicitiamo le somme tra le frazioni dopo averle ridotte a denominatore comune

\\ =\left(\frac{2+1}{4}\right)a^2b+\left(\frac{2+1}{4}\right)b+\left(\frac{2-1}{6}\right)ab^2= \\ \\ \\ =\frac{3}{4}a^2b+\frac{3}{4}b+\frac{1}{6}ab^2

Poiché nel risultato non ci sono monomi simili, abbiamo ottenuto la somma ridotta ai minimi termini.

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega
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Os