Potenze di monomi con numeri periodici

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Potenze di monomi con numeri periodici #28320

avt
FAQ
Punto
Ho alcune perplessità nel calcolo delle potenze di alcuni monomi a coefficienti decimali periodici. Da quello che ricordo, bisogna esprimere i vari numeri periodici nelle rispettive frazioni generatrici.

Esprimere le seguenti potenze di monomi in forma normale

(-2,\overline{3} \ x^3 y z^3)^2 \ \ \ ; \ \ \ (-0,\overline{6}\ a^3 b^2 c^4)^3

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco
 
 

Potenze di monomi con numeri periodici #28321

avt
Pi Greco
Kraken
Il nostro compito consiste nell'esprimere in forma normale le seguenti potenze di monomi

(-2,\overline{3} \ x^3 y z^3)^2 \ \ \ ; \ \ \ (-0,\overline{6}\ a^3 b^2 c^4)^3

le cui basi sono formate da termini a coefficienti periodici. Proprio perché non è molto comodo lavorare con i numeri periodici, conviene esprimerli nelle rispettive frazioni generatrici.

Ricordiamo che la frazione generatrice associata a un numero periodico semplice è una frazione che ha per numeratore la differenza tra il numero privato della virgola e il numero formato dalla parte intera (se c'è) e per denominatore il numero formato da tanti nove quante sono le cifre del periodo. Se il caso lo richiede, possiamo ridurre ai minimi termini la frazione ottenuta.

Attenendoci alla regola, le frazioni che generano -2,\overline{3}\ \mbox{e} \ -0,\overline{6} sono rispettivamente -\frac{7}{3} \ \mbox{e} \ \frac{2}{3}, infatti:

\\ -2,\overline{3}=-\frac{23-2}{9}=-\frac{21}{9}=-\frac{7}{3} \\ \\ \\ -0,\overline{6}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}

Note le frazioni, possiamo calcolare le potenze dei monomi dati: iniziamo dalla prima:

(-2,\overline{3} \ x^3 y z^3)^2=\left(-\frac{7}{3}x^{3}yz^{3}\right)^2=

In accordo con le proprietà delle potenze, distribuiamo 2 a ciascun fattore della base

=\left(-\frac{7}{3}\right)^2\cdot (x^{3})^{2}\cdot (y^{1})^{2}\cdot (z^3)^{2}=

dopodiché calcoliamo il quadrato di -\frac{7}{3}, attenendoci alla definizione di potenza di una frazione, e le varie potenze di potenze, moltiplicando gli esponenti tra loro.

Osservazione sul segno di \left(-\frac{7}{3}\right)^{2}: poiché l'esponente è un numero pari, il segno - sparisce, in virtù della regola dei segni.

=\frac{7^2}{3^2}x^{3\cdot 2} y^{1\cdot 2}z^{3\cdot 2}=\frac{49}{9}x^{6}y^{2}z^{6}

Il primo è andato.



Usando lo stesso identico procedimento, calcoliamo la potenza (-0,\overline{6}\ a^3 b^2 c^4)^3:

(-0,\overline{6}\ a^3 b^2 c^4)^3=\left(-\frac{2}{3}a^{3}b^{2}c^{4}\right)^3=

Distribuiamo l'esponente a ciascun fattore della base

=\left(-\frac{2}{3}\right)^3\cdot(a^3)^3\cdot (b^{2})^{3}\cdot (c^4)^3=

dopodiché determiniamo sia la potenza terza di -\frac{2}{3}, sia le varie potenze di potenze.

Nota: osserviamo che in questa circostanza, l'esponente è un numero dispari, di conseguenza la potenze di -\frac{2}{3} è a sua volta un numero negativo.

 =-\frac{2^3}{3^3}a^{3\cdot 3}b^{2\cdot 3}c^{4\cdot 3}=-\frac{8}{27}a^{9}b^{6}c^{12}



Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega
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Os