Equazione di primo grado fratta con divisioni

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Equazione di primo grado fratta con divisioni #28272

avt
ild0tt0re
Cerchio
Dovrei risolvere un'equazione fratta di primo grado con le divisioni. Ho tentato più volte di risolverla senza venirne a capo: ogni volta un risultato diverso. Ho bisogno del vostro aiuto.

Determinare l'insieme soluzione dell'equazione frazionaria

\left(\frac{1}{3}x+1\right):(x+1)=\frac{2}{3}+\frac{1}{x}:\left(1+\frac{1}{x}\right)

Grazie.
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby, AmberRise90
 
 

Equazione di primo grado fratta con divisioni #29457

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio chiede di determinare l'insieme delle soluzioni associato a

\left(\frac{1}{3}x+1\right):(x+1)=\frac{2}{3}+\frac{1}{x}:\left(1+\frac{1}{x}\right)

Essa è un'equazione fratta di primo grado, infatti l'incognita compare anche a denominatore. In questa circostanza bisogna prestare la massima attenzione alla presenza delle divisioni. Esse infatti hanno un ruolo di primaria importanza per quanto concerne le condizioni di esistenza da imporre.

Proprio perché non è possibile dividere per zero dobbiamo pretendere che:

- i denominatori contenenti l'incognita siano non nulli;

- i termini divisori siano non nulli.

Ecco perché imponiamo che:

\bullet \ \ \ x+1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -1

infatti è il polinomio divisore della prima divisione;

\bullet \ \ \ x\ne 0

per via della frazione algebrica \frac{1}{x}

\bullet \ \ \ 1+\frac{1}{x}\ne 0 \ \ \to \ \ \frac{x+1}{x}\ne 0 \ \ \to \ \ x+1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne-1

perché è il divisore della seconda divisione.

Possiamo pertanto affermare che il C.E. dell'equazione è:

C.E.:\ x\ne -1 \ \wedge \ x\ne 0

dove con \wedge indichiamo la congiunzione logica "e".

Ora che abbiamo espresso l'insieme di esistenza possiamo procedere con la risoluzione dell'equazione. Il primo passo consiste nell'esprimere la divisione come il prodotto tra il dividendo per il reciproco del divisore.

\left(\frac{1}{3}x+1\right)\cdot\frac{1}{x+1}=\frac{2}{3}+\frac{1}{x}\cdot\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right)

Prima di effettuare le moltiplicazioni, è opportuno semplificare il più possibile le espressioni nelle parentesi tonde

\left(\frac{x+3}{3}\right)\cdot\frac{1}{x+1}=\frac{2}{3}+\frac{1}{x}\cdot\left(\dfrac{1}{\dfrac{x+1}{x}}\right)

Scriviamo la frazione di frazioni in forma normale

\left(\frac{x+3}{3}\right)\cdot\frac{1}{x+1}=\frac{2}{3}+\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{x+1}

semplifichiamo le frazioni algebriche e calcoliamo i prodotti

\frac{x+3}{3(x+1)}=\frac{2}{3}+\frac{1}{x+1}

Trasportiamo tutti termini al primo membro cambiando opportunamente i segni

\frac{x+3}{3(x+1)}-\frac{2}{3}-\frac{1}{x+1}=0

e riportiamo le frazioni a denominatore comune, calcolando il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore

\frac{x+3-2(x+1)-3}{3(x+1)}=0

Cancelliamo il denominatore

x+3-2x-2-3=0

e sommiamo tra loro i monomi simili

-x-2=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di primo grado che risolviamo lasciando il termine con l'incognita al primo membro e trasportando il termine noto al secondo cambiandogli il segno

-x=2 \ \ \to \ \ x=-2

Il valore ottenuto è soluzione dell'equazione originaria perché rispetta i vincoli dettati dalle condizioni di esistenza. Siamo quindi autorizzati a concludere che l'equazione è determinata e l'insieme soluzione è S=\{-2\}.
Ringraziano: Pi Greco, ild0tt0re, CarFaby, AmberRise90
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Os