Equazione goniometrica elementare con seno

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Equazione goniometrica elementare con seno #28048

avt
FAQ
Frattale
Ho iniziato da poco tempo le equazioni goniometriche e nonostante abbia studiato molto bene la teoria, non riesco a metterla in pratica. Potreste aiutarmi a risolvere il seguente esercizio, spiegandomi i passaggi salienti? Grazie.

Calcolare le soluzioni dell'equazione goniometrica elementare

2\sin(x)=\sqrt{3}

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, SweetLove
 
 

Equazione goniometrica elementare con seno #28049

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione goniometrica

2\sin(x)=\sqrt{3}

Per poterne ricavare le soluzioni, occorre prima di tutto isolare il seno al primo membro dividendo a destra e a sinistra per 2

\sin(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}

Osserviamo preliminarmente che il secondo membro è certamente compreso tra -1\ \mbox{e} \ 1, di conseguenza l'equazione ammette certamente soluzioni.

Per ricavarle possiamo procedere in due modi: uno che richiede una certa dose di memoria e che coinvolge la cosiddetta tabella dei valori notevoli delle funzioni goniometriche dalla quale si ricava che il seno di un angolo è uguale a \frac{\sqrt{3}}{2} se e solo se l'angolo vale \frac{\pi}{3}\ \mbox{oppure} \ \frac{2\pi}{3} a meno di multipli di 2\pi. Queste considerazioni consentono di scrivere direttamente le soluzioni dell'equazione:

x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi

dove k è un parametro libero di variare nell'insieme dei numeri interi e \vee è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "o".

L'altro metodo prevede di avvalersi della circonferenza goniometrica, oltre all'interpretazione geometrica del seno.

In termini espliciti, tracciamo un sistema di assi coordinati OXY e rappresentiamo la circonferenza di centro nell'origine degli assi e raggio 1. Disegniamo la retta di equazione Y=\frac{\sqrt{3}}{2} che interseca la circonferenza in due punti. I raggi che congiungono l'origine e i punti interessati formano con l'asse delle ascisse positive due angoli che rappresentano le soluzioni dell'equazione riferita all'insieme 0\le x< 2\pi

Esercizi equazioni goniometriche elementari 1

Tenendo a mente i valori notevoli del seno, i due angoli sono \frac{\pi}{3}\ \mbox{e} \ \frac{2\pi}{3}, per cui

x=\frac{\pi}{3}\ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{2\pi}{3}

sono due soluzioni dell'equazione riferita all'intervallo fondamentale 0\le x<2\pi. Sfruttando infine la periodicità del seno, concludiamo che l'equazione è soddisfatta dalle seguenti famiglie di soluzioni

x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi

dove k è un qualsiasi numero intero. Abbiamo finito.
Ringraziano: Ifrit, xavier310, Danni, SweetLove, samuelino
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Os