Equazione goniometrica elementare con seno

Ho iniziato da poco tempo le equazioni goniometriche e nonostante abbia studiato molto bene la teoria, non riesco a metterla in pratica. Potreste aiutarmi a risolvere il seguente esercizio, spiegandomi i passaggi salienti? Grazie.

Calcolare le soluzioni dell'equazione goniometrica elementare

Grazie.

Consideriamo l'equazione goniometrica

Per poterne ricavare le soluzioni, occorre prima di tutto isolare il seno al primo membro dividendo a destra e a sinistra per 2

Osserviamo preliminarmente che il secondo membro è certamente compreso tra , di conseguenza l'equazione ammette certamente soluzioni.

Per ricavarle possiamo procedere in due modi: uno che richiede una certa dose di memoria e che coinvolge la cosiddetta tabella dei valori notevoli delle funzioni goniometriche dalla quale si ricava che il seno di un angolo è uguale a se e solo se l'angolo vale a meno di multipli di . Queste considerazioni consentono di scrivere direttamente le soluzioni dell'equazione:

dove è un parametro libero di variare nell'insieme dei numeri interi e è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "o".

L'altro metodo prevede di avvalersi della circonferenza goniometrica, oltre all'interpretazione geometrica del seno.

In termini espliciti, tracciamo un sistema di assi coordinati e rappresentiamo la circonferenza di centro nell'origine degli assi e raggio 1. Disegniamo la retta di equazione che interseca la circonferenza in due punti. I raggi che congiungono l'origine e i punti interessati formano con l'asse delle ascisse positive due angoli che rappresentano le soluzioni dell'equazione riferita all'insieme

Tenendo a mente i valori notevoli del seno, i due angoli sono , per cui

sono due soluzioni dell'equazione riferita all'intervallo fondamentale Sfruttando infine la periodicità del seno, concludiamo che l'equazione è soddisfatta dalle seguenti famiglie di soluzioni

dove è un qualsiasi numero intero. Abbiamo finito.