Disequazione logaritmica con valore assoluto

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Disequazione logaritmica con valore assoluto #280

avt
ely
Cerchio
Salve! Ho difficoltà a risolvere una disequazione logaritmica con un valore assoluto. Le disequazioni con il valore assoluto già non mi vengono, se poi ci sono anche i logaritmi...emt

Comunque: questa è la disequazione (il logaritmo è in base 2)

|\log_{2}(x-4) | > 1

Vi ringrazio!
 
 

Disequazione logaritmica con valore assoluto #283

avt
Omega
Amministratore
Prima di tutto notiamo che c'è un logaritmo, quindi dobbiamo richiedere che il suo argomento sia maggiore di zero.

Il valore assoluto, invece, ci dà due disequazioni di cui poi dobbiamo unire le soluzioni.

Naturalmente, le soluzioni di entrambe le disequazioni vanno messe a sistema con le condizioni di esistenza del logaritmo.

Primo sistema:

\left\{\begin{matrix}x-4>0\\ -\log_{2}{(x-4)}>1\end{matrix}

risolviamolo:

\left\{\begin{matrix}x>4\\ \log_{2}{(x-4)}<-1\end{matrix}

ossia

\left\{\begin{matrix}x>4\\x-4<\frac{1}{2}\end{matrix}

ossia

\left\{\begin{matrix}x>4\\x<\frac{9}{2}\end{matrix}

Soluzione del primo sistema: 4<x<\frac{9}{2}.

Secondo sistema:

\left\{\begin{matrix}x-4>0\\ \log_{2}{(x-4)}>1\end{matrix}

risolviamo anche questo

\left\{\begin{matrix}x>4\\ x-4>2\end{matrix}

ossia

\left\{\begin{matrix}x>4\\ x>6\end{matrix}

e la soluzione del secondo sistema è x>6.

Unendo le soluzioni dei due sistemi, abbiamo la soluzione della disequazione:

4<x<\frac{9}{2}\mbox{ }\vee\mbox{ }x>6.


Nota che nei due sistemi avrei dovuto aggiungere la condizione sull'argomento del modulo, ma non l'ho fatto. Perchè? Nel primo caso avremmo dovuto aggiungere la condizione

\log_{2}{(x-4)}< 0

che sarebbe finita a sistema con

\log_{2}{(x-4)}< -1

ed evidentemente tra le due ci sarebbe rimasta solo la seconda. Un discorso del tutto simile vale per la condizione sull'argomento del modulo del secondo sistema.
Ringraziano: tetorgotutto
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Os