Disequazione irrazionale (radice di radice)

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Disequazione irrazionale (radice di radice) #27640

avt
Totem
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Ecco il mio secondo problema, riguarda una disequazione irrazionale con radice di radice:

\sqrt[3]{x - \sqrt{x^2 - 1}} > 0


Allora procedo così: io so che per risolvere questo tipo di esercizi va fatto un unico radicale, per cui ho portato la x dentro la radice interna e poi ho calcolato il prodotto degli esponenti delle radici.

Porto tutto sotto unica radice:

\sqrt[6]{2x^2-1}>0

Studio la radice:

2x^2-1>0\ \Rightarrow\ x\le-\sqrt{1\over2},\ x\ge\sqrt{1\over2}

Poi come procedo con la disequazione irrazionale?
 
 

Re: Disequazione irrazionale (radice di radice) #27712

avt
Danni
Sfera
Allora, non puoi ASSOLUTAMENTE portare la x sotto radice quadrata perché non moltiplica il radicale quadratico ma fa parte di una somma algebrica.

Se proprio vuoi portare l'indice da 3 a 6 devi elevare al quadrato il radicando e il risultato è del tutto diverso.

\sqrt[3]{x - \sqrt{x^2 - 1}} > 0

In accordo con quanto spiegato nella lezione sulle disequazioni irrazionali, le radici cubiche non richiedono condizioni di esistenza. Elevi alla terza potenza ed ottieni

{x - \sqrt{x^2 - 1}} > 0

ovvero

\sqrt{x^2 - 1} < x

che è un'irrazionale del tipo

\sqrt{A(x)} < B(x)

equivalente al sistema di disequazioni

\begin{cases}A(x) \geq0\\B(x) \geq0\\A(x) < [B(x)]^2\end{cases}

quindi:

\begin{cases}(x + 1)(x - 1) \geq0\\x \geq0\\x^2 - 1 < x^2\end{cases}

\begin{cases}x \leq-1 \vee x \geq1 \\x \geq0\\x^2 - 1 < x^2 \;\;verificata\;\;per\;\;ogni\;\;x\;\;reale\end{cases}

Il sistema è quindi verificato per

x \geq1

e così la disequazione.

Se hai dubbi sono qui. Hai capito l'errore che hai fatto all'inizio?

|x| \sqrt {x^2 - 1} = \sqrt{x^2(x^2 - 1)}}

ma per

x - \sqrt{x^2 - 1}

l'operazione non è proprio possibile. Ok? emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Re: Disequazione irrazionale (radice di radice) #27713

avt
Totem
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Si ho capito grazie per la spiegazione
Ringraziano: Danni
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Os