Equazione di secondo grado con radicali fratti

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Equazione di secondo grado con radicali fratti #27474

avt
SLSAmg
Banned
Avrei bisogno di aiuto per risolvere un'equazione di secondo grado pura, caratterizzata dall'avere i coefficienti irrazionali. Credo si debbano usare le proprietà dei radicali per semplificare il risultato, ecco perché chiedo il vostro aiuto.

Risolvere la seguente equazione di secondo grado pura e a coefficienti irrazionali

2-\sqrt{2}=\frac{x^2}{2+\sqrt{2}}

Grazie.
 
 

Equazione di secondo grado con radicali fratti #27476

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere l'equazione di secondo grado

2-\sqrt{2}=\frac{x^2}{2+\sqrt{2}}

scriviamola prima di tutto in forma normale trasportando al primo membro il termine con l'incognita e al secondo quelli senza, prestando la massima attenzione ai segni

-\frac{x^2}{2+\sqrt{2}}=-2+\sqrt{2}

Cambiamo i segni a destra e a sinistra

\frac{x^2}{2+\sqrt{2}}=2-\sqrt{2}

e moltiplichiamo per 2+\sqrt{2} ricavando così l'equazione equivalente

x^2=(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})

Sviluppiamo il prodotto a destra dell'uguale mediante la regola sulla differenza di quadrati

x^2=4-2 \ \ \to \ \ x^2=2

Osservato che è un'equazione pura, possiamo scrivere direttamente le soluzioni

x_1=-\sqrt{2} \ \ \vee \ \ x_2=+\sqrt{2}

Concludiamo pertanto che l'equazione è determinata e il suo insieme soluzione è S=\left\{-\sqrt{2},+\sqrt{2}\right\}.

Ecco fatto.
Ringraziano: LittleMar
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Os