Divisione tra polinomio e monomio con numeri decimali

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Divisione tra polinomio e monomio con numeri decimali #2697

avt
FAQ
Punto
Mi serve il vostro aiuto per dividere un polinomio per un monomio, entrambi a coefficienti decimali. Ho seguito il suggerimento dell'insegnante passando alle frazioni generatrici, però non sono in grado di ottenere lo stesso risultato del libro.

Calcolare il quoziente della seguente divisione polinomiale

\left(2,8a^4 b^4-2,4 a^3b^2+\frac{6}{5}a^2b^2\right):\left(-0,2ab^2\right)

Grazie.
Ringraziano: Omega
 
 

Divisione tra polinomio e monomio con numeri decimali #2700

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio ci chiede di svolgere la divisione di un polinomio per un monomio, però prima di eseguire qualsiasi passaggio algebrico, bisogna verificare che sia soddisfatta la seguente condizione di divisibilità: un polinomio è divisibile per un monomio se tutti i suoi termini sono divisibili per il monomio dato.

Nella divisione

\left(2,8a^4 b^4-2,4 a^3b^2+\frac{6}{5}a^2b^2\right):\left(-0,2ab^2\right)

i termini del polinomio sono 2,8a^4b^4, \ -2,4 a^3 b^2 \ \mbox{e} \ \frac{6}{5}a^2b^2 e sono tutti divisibili per 0,2ab^2, perché:

- il grado di ciascun termine è maggiore o al più uguale a quello del monomio;

- le lettere di 0,2ab^2 compaiono nei tre termini con esponenti più grandi, o al più uguali.

In accordo con la teoria, il quoziente della divisione sarà a sua volta un polinomio! Per calcolarlo, basta attenersi alla proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione ed eseguire i calcoli che ne conseguono.

Attenzione! Il polinomio e il monomio sono caratterizzati dal fatto che alcuni dei loro coefficienti sono numeri decimali, con cui è davvero scomodo lavorare. Possiamo aggirare l'ostacolo trasformando i numeri decimali nelle rispettive frazioni generatrici, vale a dire quelle frazioni che hanno:

- al numeratore, il numero privato della virgola;

- al denominatore, un uno seguito da tanti zeri quante sono le cifre della parte decimale.

Attenendoci alla regola, ricaviamo che:

- la frazione generatrice associata a 2,8 è \frac{14}{5}, infatti:

2,8=\frac{28}{10}=\frac{14}{5}

- la frazione generatrice associata a 2,4 è \frac{12}{5}, infatti:

2,4=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}

- la frazione generatrice associata a 0,2 è \frac{1}{5}, infatti:

0,2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}

Sostituendo ai numeri decimali le rispettive frazioni generatrici, l'espressione

\left(2,8a^4 b^4-2,4 a^3b^2+\frac{6}{5}a^2b^2\right):\left(-0,2ab^2\right)=

diventa

=\left(\frac{14}{5}a^{4}b^{4}-\frac{12}{5}a^{3}b^2+\frac{6}{5}a^{2}b^{2}\right):\left(-\frac{1}{5}ab^2\right)=

A questo punto, distribuiamo il monomio divisore a ciascun termine del polinomio

=\frac{14}{5}a^{4}b^{4}:\left(-\frac{1}{5}ab^{2}\right)+\left(-\frac{12}{5}\right)a^3b^2:\left(-\frac{1}{5}ab^2\right)+\left(\frac{6}{5}a^{2}b^2\right):\left(-\frac{1}{5}ab^2\right)=

e svolgiamo le divisioni tra i monomi, usando a dovere la regola sul quoziente di due potenze con la stessa base per stabilire gli esponenti da attribuire alle lettere che compaiono nei quozienti parziali.

\\ =\left[\frac{14}{5}:\left(-\frac{1}{5}\right)\right]a^{4-1}b^{4-2}+\left[\left(-\frac{12}{5}\right):\left(-\frac{1}{5}\right)\right]a^{3-1}b^{2-2}+\left[\frac{6}{5}:\left(-\frac{1}{5}\right)\right]a^{2-1}b^{2-2}=

=\left[\frac{14}{5}:\left(-\frac{1}{5}\right)\right]a^{3}b^{2}+\left[\left(-\frac{12}{5}\right):\left(-\frac{1}{5}\right)\right]a^{2}+\left[\frac{6}{5}:\left(-\frac{1}{5}\right)\right]a=

Non ci resta che calcolare le varie divisioni tra le frazioni, trasformandole nei prodotti tra le frazioni dividendi per il reciproco delle frazioni divisori:

\\ =\left[\frac{14}{5}\cdot\left(-5\right)\right]a^{3}b^{2}+\left[\left(-\frac{12}{5}\right)\cdot\left(-5\right)\right]a^{2}+\left[\frac{6}{5}\cdot\left(-5\right)\right]a= \\ \\ \\ =-14a^3b^2+12a^2-6a

Abbiamo terminato!
Ringraziano: frank094
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Os