Calcolare la potenza di un binomio alla quinta

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Calcolare la potenza di un binomio alla quinta #26862

avt
dimath
Banned
Non so come calcolare la quinta potenza di un binomio, usando il triangolo di Tartaglia. A essere precisi, so bene come si costruisce il triangolo, però non so cosa fare in seguito.

Sviluppare la seguente potenza di binomio, usando il triangolo di Tartaglia:

(2a-1)^5

Grazie.
 
 

Calcolare la potenza di un binomio alla quinta #26874

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nel calcolare la seguente potenza di binomio

(2a-1)^5

avvalendoci del triangolo di Tartaglia.

Per non commettere errori di segno o di calcolo, conviene determinare lo sviluppo della potenza quinta del binomio A+B, usare le sostituzioni

A=2a \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B=-1

e svolgere infine i calcoli, usando le opportune proprietà delle potenze.

Dopo il breve preambolo, occupiamoci del calcolo di (A+B)^5, per cui è richiesta la sesta riga del triangolo di Tartaglia, formata dai coefficienti dello sviluppo.

\begin{array}{l|ccccccccccc}n=0&&&&&&1&&&&&\\ n=1&&&&&1&&1&&&&\\ n=2&&&&1&&2&&1&&&\\ n=3&&&1&&3&&3&&1&&\\ n=4&&1&&4&&6&&4&&1&\\ n=5&1&&5&&10&&10&&5&&1 \end{array}

I coefficienti dello sviluppo, ordinati secondo le potenze decrescenti di A sono:

1 \ \ \ 5 \ \ \ 10 \ \ \ \ 10 \ \ \ 5 \ \ \  1

pertanto lo sviluppo di (A+B)^5 è:

\\ (A+B)^5=\\ \\ =1\cdot A^{5}B^{0}+5\cdot A^{4}B^{1}+10\cdot A^{3}B^{2}+10\cdot A^{2}B^3+5\cdot A^{1}B^{4}+1\cdot A^{0}B^{5}= \\ \\ =A^5+5A^4B+10A^3B^2+10A^2B^3+5AB^4+B^5

Prima di procedere oltre con la risoluzione, è opportuno capire come attribuire gli esponenti alle lettere A\ \mbox{e}\ B. Non è difficile, basta attenersi alle seguenti regole:

- l'esponente della lettera A va da cinque a zero, decrescendo di uno a ogni termine;

- l'esponente della lettera B va da zero a cinque, crescendo di uno a ogni termine;

- i gradi dei monomi nello sviluppo devono essere tutti uguali a cinque.

Noto lo sviluppo, possiamo calcolare la potenza quinta di 2a-1: basta sostituire A con 2a e B con -1 nella formula

(A+B)^5 =A^5+5A^4B+10A^3B^2+10A^2B^3+5AB^4+B^5

così da ricavare l'espressione

\\ (2a-1)^5= \\ \\ =(2a)^5+5\cdot(2a)^4 (-1)+10\cdot(2a)^3(-1)^2+10\cdot (2a)^2(-1)^3+5\cdot (2a)\cdot (-1)^4+(-1)^5=

Non ci resta che svolgere i calcoli, usando sia la regola dei segni, sia le proprietà delle potenze, e scrivere lo sviluppo richiesto:

=32a^5-80a^4+80a^3-40a^2+10a-1

Abbiamo finito.
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Os