Esercizio su sommatoria e binomio di Newton

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Esercizio su sommatoria e binomio di Newton #26479

avt
diabolik
Banned
Dovrei usare il teorema binomiale per esplicitare la somma di una sommatoria il cui termine generale è il prodotto tra il coefficiente binomiale e potenze di frazioni. Come procedo?

Usare il teorema binomiale per calcolare la somma della seguente sommatoria

\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n+k}

al variare del parametro n\in\mathbb{N}.

Grazie.
 
 

Esercizio su sommatoria e binomio di Newton #26480

avt
Omega
Amministratore
Per poter calcolare la somma associata alla sommatoria

\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n+k}

al variare del numero naturale n, possiamo usare il cosiddetto binomio di Newton, cioè la formula che consente di determinare lo sviluppo della potenza di un binomio:

(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{n-k}b^{k}

dove k è un numero naturale compreso tra 0\ \mbox{e} \ n (estremi inclusi), mentre il simbolo matematico {n\choose k} rappresenta il coefficiente binomiale

{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \ \ \ \mbox{con} \ 0\le k\le n

Naturalmente, bisogna avere dimestichezza con il fattoriale per poter sfruttare a pieno lo sviluppo di Newton.

Nella regola di Newton, oltre al coefficiente binomiale, compaiono due potenze: a^{n-k}, il cui esponente dipende dai parametri n\ \mbox{e}\ k, e b^{k}, il cui esponente dipende esclusivamente da k.

Nella sommatoria dell'esercizio

\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n+k}

compare invece un'unica potenza, \left(\frac{1}{2}\right)^{n+k}, il cui esponente ha una forma ben diversa da n-k,\ \mbox{o da} \ k: se non usiamo qualche trucchetto algebrico, non possiamo usare la regola di Newton.

L'idea risolutiva si basa sulla possibilità di sommare e sottrarre k nell'esponente della potenza \left(\frac{1}{2}\right)^{n+k}

\left(\frac{1}{2}\right)^{n+k}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k+k+k}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k+2k}=

e di applicare in seguito le proprietà delle potenze, le quali giustificano le uguaglianze:

=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2k}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}\cdot\left(\frac{1}{2^2}\right)^{k}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{k}

Possiamo affermare pertanto che:

\left(\frac{1}{2}\right)^{n+k}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{k}

per cui la sommatoria

\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n+k}=

diventa

=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{k}

Da questa espressione deduciamo i valori di a\ \mbox{e} \ b che sono:

a=\frac{1}{2}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ b=\frac{1}{4}

di conseguenza siamo autorizzati a scrivere i seguenti passaggi:

\\ \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{k}=\\ \\ \\ =\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)^{n}=\left(\frac{3}{4}\right)^{n} \ \ \ \mbox{per ogni} \ n\in\mathbb{N}

Ecco fatto!
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Os