Esercizio su sommatoria e binomio di Newton

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#26479
avt
diabolik
Banned
Dovrei usare il teorema binomiale per esplicitare la somma di una sommatoria il cui termine generale è il prodotto tra il coefficiente binomiale e potenze di frazioni. Come procedo?

Usare il teorema binomiale per calcolare la somma della seguente sommatoria

Σ_(k = 0)^(n)n choose k·((1)/(2))^(n+k)

al variare del parametro n∈N.

Grazie.
#26480
avt
Omega
Amministratore
Per poter calcolare la somma associata alla sommatoria

Σ_(k = 0)^(n)n choose k·((1)/(2))^(n+k)

al variare del numero naturale n, possiamo usare il cosiddetto binomio di Newton, cioè la formula che consente di determinare lo sviluppo della potenza di un binomio:

(a+b)^(n) = Σ_(k = 0)^(n)n choose ka^(n-k)b^(k)

dove k è un numero naturale compreso tra 0 e n (estremi inclusi), mentre il simbolo matematico n choose k rappresenta il coefficiente binomiale

n choose k = (n!)/(k!(n-k)!) con 0 ≤ k ≤ n

Naturalmente, bisogna avere dimestichezza con il fattoriale per poter sfruttare a pieno lo sviluppo di Newton.

Nella regola di Newton, oltre al coefficiente binomiale, compaiono due potenze: a^(n-k), il cui esponente dipende dai parametri n e k, e b^(k), il cui esponente dipende esclusivamente da k.

Nella sommatoria dell'esercizio

Σ_(k = 0)^(n)n choose k·((1)/(2))^(n+k)

compare invece un'unica potenza, ((1)/(2))^(n+k), il cui esponente ha una forma ben diversa da n-k, o da k: se non usiamo qualche trucchetto algebrico, non possiamo usare la regola di Newton.

L'idea risolutiva si basa sulla possibilità di sommare e sottrarre k nell'esponente della potenza ((1)/(2))^(n+k)

((1)/(2))^(n+k) = ((1)/(2))^(n-k+k+k) = ((1)/(2))^(n-k+2k) =

e di applicare in seguito le proprietà delle potenze, le quali giustificano le uguaglianze:

= ((1)/(2))^(n-k)·((1)/(2))^(2k) = ((1)/(2))^(n-k)·((1)/(2^2))^(k) = ((1)/(2))^(n-k)·((1)/(4))^(k)

Possiamo affermare pertanto che:

((1)/(2))^(n+k) = ((1)/(2))^(n-k)·((1)/(4))^(k)

per cui la sommatoria

Σ_(k = 0)^(n)n choose k·((1)/(2))^(n+k) =

diventa

= Σ_(k = 0)^(n)n choose k·((1)/(2))^(n-k)·((1)/(4))^(k)

Da questa espressione deduciamo i valori di a e b che sono:

a = (1)/(2) e b = (1)/(4)

di conseguenza siamo autorizzati a scrivere i seguenti passaggi:

Σ_(k = 0)^(n)n choose k·((1)/(2))^(n-k)·((1)/(4))^(k) = ((1)/(2)+(1)/(4))^(n) = ((3)/(4))^(n) per ogni n∈N

Ecco fatto!
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