Trovare la potenza di un binomio dalla sommatoria

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Trovare la potenza di un binomio dalla sommatoria #26466

avt
diabolik
Banned
Avrei un problema sul teorema di Newton che non sono in grado di risolvere. In buona sostanza dovrei risalire alla potenza di un binomio di cui conosco lo sviluppo, usando appunto la formula del binomio di Newton. Inoltre dovrei calcolare la somma di una sommatoria. Sinceramente? Non so da dove partire!

La sommatoria

\sum_{k=0}^{10}{10\choose k}x^{3k}

coincide con lo sviluppo della potenza di un binomio, quale? Usare la relazione ottenuta per calcolare la somma di:

\sum_{k=0}^{10}(-1)^{k}{10\choose k} 27^{k}

Grazie.
 
 

Trovare la potenza di un binomio dalla sommatoria #26501

avt
Omega
Amministratore
Prima di dare la soluzione ai due quesiti, facciamo un piccolo ripasso sul teorema binomiale. Esso fornisce una formula con cui è possibile calcolare la potenza di un binomio senza usare il triangolo di Tartaglia.

La potenza n-esima del binomio a+b è data dalla sommatoria:

(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{n-k}b^{k}

in cui il coefficiente binomiale {n\choose k} è definito dalla relazione:

{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \ \ \ \mbox{con} \ 0\le k\le n

Nota: il simbolo matematico n! indica il fattoriale di un numero, definito come il prodotto dei numeri interi compresi tra 1\ \mbox{e}\  n, estremi inclusi.

Sia chiaro che la formula sul binomio di Newton può essere lette anche nel senso inverso e consente di passare dallo sviluppo alla potenza di binomio: bisogna solo stabilire chi svolge il ruolo di a, chi quello di b e dedurre l'esponente n.

Dopo il preambolo teorico, concentriamoci sull'esercizio: dobbiamo determinare la potenza di binomio associata allo sviluppo

\sum_{k=0}^{10}{10\choose k}x^{3k}=

Confrontando la sommatoria con quella della formula di Newton, deduciamo immediatamente che n=10, inoltre la regola sulla potenza di potenza consente di scrivere l'uguaglianza x^{3k}=(x^3)^k, grazie alla quale la sommatoria diventa:

=\sum_{k=0}^{10}{10\choose k}(x^3)^k=

Se confrontiamo la sommatoria con lo sviluppo di Newton, comprendiamo che manca un fattore nel termine generale. Poco male! Basta moltiplicare il termine generale per la potenza 1^{10-k} che non ne modifica il valore, perché è semplicemente 1.

=\sum_{k=0}^{10}{10\choose k}1^{10-k}\cdot(x^3)^k

A questo punto, siamo in grado di attribuire i valori ad a \ \mbox{e a} \ b:

a=1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ b=x^3

per cui

\sum_{k=0}^{10}{10\choose k}1^{10-k}\cdot(x^3)^k=(1+x^3)^{10}

In definitiva, la sommatoria iniziale individua la potenza decima del binomio 1+x^3:

\sum_{k=0}^{10}{10\choose k}x^{3k}=(1+x^3)^{10}

Nella seconda parte dell'esercizio ci viene chiesto di sfruttare l'uguaglianza ottenuta per calcolare la somma di:

\sum_{k=0}^{10}(-1)^{k}{10\choose k} 27^{k}=

A questo punto, le proprietà delle potenze garantiscono le seguenti uguaglianze:

\\ =\sum_{k=0}^{10}{10\choose k}(-27)^{k}=\sum_{k=0}^{10}{10\choose k}(-3)^{3k}= \\ \\ \\ =(1+(-3)^3)^{10}=(1-27)^{10}=26^{10}

Lo sviluppo della potenza decima di 26 lo facciamo fare alle calcolatrici!
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Os