Calcolare una sommatoria con il teorema del binomio di Newton

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Calcolare una sommatoria con il teorema del binomio di Newton #26463

avt
diabolik
Banned
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un esercizio sul binomio di Newton. Mi viene chiesto di calcolare la somma di una somma nel quale compare esclusivamente il coefficiente binomiale e io, purtroppo, non ne sono capace.

Usare il teorema binomiale per calcolare la somma della seguente sommatoria:

\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\ \ \ \mbox{al variare di} \ n\in \mathbb{N}

Grazie.
 
 

Calcolare una sommatoria con il teorema del binomio di Newton #26499

avt
Omega
Amministratore
Prima di rispondere al quesito, facciamo un breve preambolo teorico. Il teorema binomiale fornisce la formula che consente di calcolare la potenza di un binomio, senza scomodare il triangolo di Tartaglia.

La potenza n-esima del binomio a+b si calcola con la formula:

(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{n-k}b^{k}

Per comprenderla a pieno, è necessario avere un po' di dimestichezza con le sommatorie e con il cosiddetto coefficiente binomiale, definito dalla relazione:

{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

nella quale n\ \mbox{e} \ k sono numeri naturali con 0\le k\le n e il simbolo matematico n! indica il fattoriale di n.

Se letta nella direzione opposta, la formula

(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{n-k}b^{k}

consente di esplicitare le somme delle sommatorie che richiamano il secondo membro: basta capire chi svolge il ruolo di a, chi il ruolo di b e operare infine le dovute sostituzioni.

L'esercizio ci chiede di calcolare la somma di

\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}=

al variare di n\in\mathbb{N}. In questa circostanza, il problema si banalizza se usiamo un piccolo stratagemma che prevede di riscrivere il termine generale come prodotto tra il coefficiente binomiale e le potenze di 1 1^{n-k}\ \mbox{e} \ 1^{k}, ossia:

=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\cdot 1^{n-k}\cdot 1^{k}

Confrontando l'espressione con la formula di Newton, deduciamo quali valori attribuire ad a e a b

a=1\ \ \ \mbox{e} \ \ \ b=1

pertanto

\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\cdot 1^{n-k}\cdot 1^{k}=(1+1)^{n}=2^{n}

In altri termini, abbiamo dimostrato che la somma dei primi n coefficienti binomiali coincide con la potenza ennesima di 2:

\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}=2^{n} \ \ \ \mbox{per ogni} \ n\in\mathbb{N}

Ecco fatto!
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Os