Esercizio sul binomio di Newton con potenza 25

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Esercizio sul binomio di Newton con potenza 25 #26462

avt
campa
Banned
In un esercizio mi viene chiesto di calcolare il coefficiente di un termine dello sviluppo della potenza di un binomio usando il teorema binomiale. Avevo pensato di espandere la potenza di binomio, però l'esponente è altissimo! Come devo fare?

Determinare il coefficiente di x^{21} dello sviluppo della seguente potenza di binomio:

(2x+1)^{25}

Grazie.
 
 

Esercizio sul binomio di Newton con potenza 25 #26506

avt
Omega
Amministratore
Per determinare il coefficiente di x^{21} che compare nella potenza di binomio

(2x+1)^{25}

è sufficiente avvalersi della regola sul binomio di Newton:

(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{n-k}b^{k}

nella quale a\ \mbox{e} \ b sono rispettivamente il primo e il secondo addendo del binomio e n è l'esponente della potenza.

Il simbolo matematico {n\choose k} individua il cosiddetto coefficiente binomiale ed è definito dalla relazione:

{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

dove n\ \mbox{e} \ k sono due numeri naturali che obbediscono alla doppia disuguaglianza 0\le k\le n e n! indica il fattoriale di n.

Sia chiaro che per risolvere l'esercizio, bisogna avere dimestichezza con le sommatorie e saperle gestire come si deve.

Nel caso considerato

a=2x \ \ \ , \ \ \ b=1 \ \ \ , \ \ \ n=25

pertanto, operate le dovute sostituzioni, la potenza di binomio (2x+1)^{25} è:

\\ (2x+1)^{25}=\sum_{k=0}^{25}{25\choose k}(2x)^{25-k}\cdot 1^{k}= \\ \\ \\ =\sum_{k=0}^{25}{25\choose k}(2x)^{25-k}=

Usiamo le proprietà relativa alla potenza di un prodotto, cosicché l'espressione diventi:

=\sum_{k=0}^{25}2^{25-k}{25\choose k}x^{25-k}

Da essa, deduciamo che il coefficiente associato alla generica potenza di x^{25-k} è uguale al prodotto tra il coefficiente binomiale {25\choose k} e la potenza di 2 2^{25-k}.

L'unico termine che manca per il calcolo del coefficiente di x^{21} è proprio k, che però possiamo ricavare imponendo che l'esponente di x^{25-k} sia uguale a quello di x^{21}:

25-k=21 \ \ \ \to \ \ \ k=4

In definitiva, il coefficiente richiesto è:

\\ 2^{25-4}{25\choose 4}=2^{21}\cdot\frac{25!}{4! (25-4)!}=2^{21}\cdot\frac{25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21!}{4!\cdot 21!}=\\ \\ \\ = 2^{21} \frac{25\cdot 24\cdot 23\cdot 22}{4\cdot 3\cdot 2}=2^{21}\cdot 25\cdot 23\cdot 22

Nota: se non è possibile utilizzare la calcolatrice, il risultato può essere lasciato in questi termini, in caso contrario, il risultato è:

2^{21}\cdot\frac{25!}{4! (25-4)!}=26\ 528\ 972\ 800

Ecco fatto
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