Disequazioni equivalenti con parametro

Buongiorno, devo stabilire per quali valori di un parametro reale due disequazioni sono equivalenti. L'esercizio mi chiede di determina per quale valore del parametro reale a le disequazioni:





sono equivalenti. (Risultato a=-3)

Trova per quale valore di a la seconda disequazione ha come soluzione x=5.

Risultato:

Grazie mille!

Due disequazioni si dicono equivalenti quando gli insiemi delle soluzioni coincidono.
Nel nostro caso dovremo prima risolvere la prima disequazione e dopo la seconda ( anche se, come vedremo, non sarà completamente necessario ) per poi finire con la discussione delle soluzioni.



Si tratta di una disequazione irrazionale di difficile risoluzione.
Ovviamente ti farò evitare il procedimento generale ( abbastanza lungo ) con qualche considerazione.

Notiamo che il primo radicale esiste SOLO quando si verifica la condizione



Il secondo radicale impone una seconda importante condizione che intersecata con la precedente ci dice che deve essere:



Notiamo ora che per valere quantomeno la condizione di uguale è necessario che ciascun radicale valga 2^(1/2) .. imponiamo quindi che sia:



Il risultato in entrambi i casi x = 1/3 .. questo vuol dire che la disequazione è verificata per questo valore.

Adesso per dimostrare che 1/3 è l'unico massimo della funzione ( e unica soluzione della disequazione ) credo si possa procedere in due modi:

- Derivate ( la derivata prima è annullata da x = 1/3 e la seconda è negativa, questo ci dice che 1/3 -> Max ).

- Notando che la funzione è crescente per x = 1/3 - ε e decrescente per x = 1/3 + ε
Del secondo punto non son tanto sicuro .. aspetta conferma da qualcuno più esperto!

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La seconda disequazione è facilmente risolvibile in quanto si nota che un valore assoluto NON può essere minore di zero ma solo uguale a zero. Questa condizione si realizza solo quando




Una equazione di secondo grado che restituisce una sola soluzione ( o meglio, due coincidenti ) pari a x = -8a / 8a² = - 1 / a.

Imponiamo adesso che le soluzioni delle disequazioni siano uguali:




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La seconda disequazione ha soluzione x = 5 quando vale la relazione



Altro non è che la precedente dopo aver sostituito x = 5 ... risolvendo




La cui unica soluzione ( di nuovo due coincidenti ) vale a = - 10 / 50 = - 1/5.

Ripeto, per il primo punto aspetta conferma di quanto ho detto!