Scomporre una differenza di cubi di binomi

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Scomporre una differenza di cubi di binomi #25722

avt
pierino.1990
Cerchio
Come posso scomporre il seguente polinomio in fattori irriducibili sfruttando la regola sulla differenza di cubi?

(x+1)^3-(x-1)^3
 
 

Scomporre una differenza di cubi di binomi #26618

avt
nando
Frattale
Per scomporre il polinomio

(x+1)^3-(x-1)^3

possiamo tranquillamente utilizzare la regola di scomposizione di una differenza di cubi

A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)

dove A \ \mbox{e} \ B rappresentano le basi dei due cubi. Nel caso in esame:

A=x+1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B=x-1

e in accordo con la regola, scriviamo

(x+1)^3-(x-1)^3=(x+1-(x-1))((x+1)^2+(x+1)(x-1)+(x-1)^2)=

Non ci resta che eseguire i calcoli rimasti, partendo dalla prima coppia di parentesi tonde

\\ =(x+1-x+1)((x+1)^2+(x+1)(x-1)+(x-1)^2)= \\ \\ =2((x+1)^2+(x+1)(x-1)+(x-1)^2)=

Sviluppiamo i quadrati di binomi ed eseguiamo il prodotto tra somma e differenza dei monomi x \ \mbox{e}\  1

=2(x^2+2x+1+x^2-1+x^2-2x+1)=

Infine sommiamo tra loro i termini simili, ottenendo così la scomposizione richiesta

=2(3x^2+1)

Ecco fatto.
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os