Scomporre il polinomio x^4+4 #25585

avt
bettina86
Punto
Dovrei scomporre di un polinomio di quarto grado che in realtà pensavo fosse irriducibile, ma secondo il mio insegnante non è così. Mi ha suggerito di usare l'identità di Sophie Germain, ma non so come funziona. Potreste aiutarmi, per favore?

Scomporre il seguente polinomio

x^4+4

Grazie.
 
 

Scomporre il polinomio x^4+4 #25589

avt
Omega
Amministratore
Per scomporre il polinomio

x^4+4

possiamo avvalerci dell'identità di Sophie Germain, una tecnica di scomposizione che consente di fattorizzare i binomi nella forma A^4+4B^4.

Per prima cosa, usiamo le proprietà delle potenze per esprimere il polinomio nella somma di potenze quadre

x^4+4=(x^2)^2+2^2=

dopodiché aggiungiamo e sottraiamo 2\cdot 2x^2=4x^2 così da completare il quadrato di x^2+2

=(x^2)^2+4x^2+2^2-4x^2=

Proprio perché i primi tre termini costituiscono lo sviluppo del quadrato del binomio x^2+2, li rimpiazziamo con (x^2+2)^2

=(x^2+2)^2-4x^2=

Esaminiamo i termini del polinomio: (x^2+2)^2 è il quadrato di x^2+2, mentre 4x^2 è il quadrato di (2x)^2, per cui siamo in presenza della differenza di due quadrati che possiamo scomporre nel prodotto della somma tra x^2+2 \ \mbox{e} \ 2x per la loro differenza:

=(x^2+2+2x)(x^2+2-2x).

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar
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