Esercizio, disequazioni dipendenti da un parametro equivalenti

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Esercizio, disequazioni dipendenti da un parametro equivalenti #255

avt
ely
Cerchio
Salve, mi aiutereste con un esercizio in cui devo determinare il valore di un parametro per il quale una disequazione, dipendente dal parametro, sia equivalente a un'altra disequazione?

L'esercizio dice: determina per quali valori del parametro a maggiore o uguale di 0 la disequazione

(2a-1)^2x^2-a(2a+3)x+2x > 0

è equivalente alla disequazione (a) oppure (b):

\sqrt{x^2+1} - 2x < 1

\frac{|3x+3|-3(-x+1)}{-x+3} < 0
 
 

Esercizio, disequazioni dipendenti da un parametro equivalenti #260

avt
Alpha
Cerchio
Ciao Ely, prima di tutto dire che due equazioni sono equivalenti, significa dire che hanno lo stesso insieme delle soluzioni. Quindi dobbiamo risolvere le due disequazioni specifiche, per poi risolvere la prima in generale e vedere per quali valori del parametro non negativo a l'insieme delle soluzioni della disequazione parametrica coincidono con quello delle disequazioni standard.

Risolviamo

\sqrt{x^2+1}-2x<1


è una disequazione irrazionale, risolverla equivale a risolvere il seguente sistema:

\left\{\begin{matrix}x^2+1\geq 0 \\ 2x+1\geq 0 \\ x^2+1< (2x+1)^2 \end{matrix}


Ora le disequazioni hanno soluzioni

\left\{\begin{matrix}\forall x\in\mathbb{R} \\ x\geq -\frac{1}{2} \\ x<-\frac{4}{3}\vee x>0\end{matrix}


Quindi il sistema ha soluzione (data dall'intersezione delle soluzioni delle due disequazioni): x > 0.


Ora occupiamoci della disequazione con parametro: la cosa più furba da fare è raccogliere una x:

(2a-1)^2x^2-a(2a+3)x+2x>0


x((2a-1)^2x-a(2a+3)+2)>0


Le soluzioni sono date dagli intervalli esterni ai due zeri dell'equazione associata.

Una soluzione è 0 e non dipende dal parametro, l'altra è

\frac{a(2a+3)-2}{(2a-1)^2}


Il punto da discutere è solo questo:

1. se

\frac{a(2a+3)-2}{(2a-1)^2}< 0


Allora le soluzioni della disequazione parametrica sono


x<\frac{a(2a+3)-2}{(2a-1)^2}\vee x>0


2. se

\frac{a(2a+3)-2}{(2a-1)^2}>0


Allora le soluzioni della disequazione sono date da

x<0\vee x>\frac{a(2a+3)-2}{(2a-1)^2}


3. se

\frac{a(2a+3)-2}{(2a-1)^2}=0


Allora le soluzioni della disequazione sono date da

x>0


Per discutere questi tre casi dovrai risolvere le relative disuguaglianze ricordando che a è non negativo!

Come vedi il terzo caso è proprio quello che ci interessa per rendere equivalenti la disequazione irrazionale e quella parametrica, ti ricordo infatti che l'insieme delle soluzioni della disequazione irrazionale era proprio x>0!
Ringraziano: CarFaby
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Os