Esercizio di scomposizione con quadrato di trinomio e frazioni

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Esercizio di scomposizione con quadrato di trinomio e frazioni #25395

avt
cleliafrancesca
Banned
Non ho idea di come scomporre un polinomio di sei termini a coefficienti fratti. In teoria dovrei usare un prodotto notevole, in pratica non so dove mettere le mani.

Usare i prodotti notevoli per ricavare la scomposizione del seguente polinomio:

\frac{x^2}{4}+y^2+1+x+2y+x y

Grazie.
 
 

Esercizio di scomposizione con quadrato di trinomio e frazioni #25398

avt
Ifrit
Amministratore
Proponiamoci l'obiettivo di scomporre il polinomio

\frac{x^2}{4}+y^2+1+x+2y+x y

avvalendoci del prodotto notevole:

A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC=(A+B+C)^2

solitamente indicato con il nome di regola del quadrato di trinomio.

Esso consente di esprimere un polinomio formato dalla somma dei quadrati di tre monomi e dal loro doppio prodotto nel quadrato della somma dei monomi.

In generale, per poter applicare la regola occorre:

- individuare i termini quadratici e ricavare le basi di ciascuno;

- dedurre dai doppi prodotti i segni da attribuire alle basi;

- verificare la correttezza dei segni, calcolando i doppi prodotti.

In questa circostanza però i doppi prodotti hanno coefficienti positivi, di conseguenza le tre basi devono avere coefficienti concordi.

Esaminando il polinomio

\frac{x^2}{4}+y^2+1+x+2y+x y

deduciamo che i termini quadratici sono:

\bullet \ \ \ A^2=\frac{x^2}{4} con base è A=\frac{x}{2}, infatti le proprietà delle potenze garantiscono le seguenti uguaglianze:

\left(\frac{x}{2}\right)^2=\frac{x^2}{2^2}=\frac{x^2}{4}

\bullet \ \ \ B^2=y^2 con base B=y;

\bullet \ \ \  C^2=1 con base C=1.

Calcoliamo i doppi prodotti delle basi e verifichiamo se sono termini del polinomio dato:

\\ 2AB=2\cdot \frac{x}{2}\cdot y=x y \\ \\ 2AC=2\cdot\frac{x}{2}\cdot 1=x \\ \\ 2BC=2\cdot y\cdot 1=2y

Perfetto! I doppi prodotti calcolati coincidono con quelli presenti nel polinomio, pertanto la regola del quadrato di trinomio consente di scrivere la scomposizione:

\frac{x^2}{4}+y^2+1+x+2y+x y=\left(\frac{x}{2}+y+1\right)^2

Abbiamo terminato!
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os