Potenza quinta di un binomio con binomio di Newton

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Potenza quinta di un binomio con binomio di Newton #25288

avt
Marynesse
Banned
Il mio professore ha dato un esercizio in cui mi viene chiesto di calcolare la potenza quinta di un binomio con il teorema binomiale (o binomio di Newton). Sebbene conosca la formula, non riesco a metterla in pratica: potreste aiutarmi, per favore?

Usare il teorema binomiale per calcolare la potenza quinta del binomio x+1, ossia:

(x+1)^5

Grazie mille
 
 

Potenza quinta di un binomio con binomio di Newton #25290

avt
Ifrit
Amministratore
Per calcolare la potenza di binomio:

(x+1)^{5}

con il teorema binomiale, basta applicare la formula:

(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{n-k}b^{k}

dove n è l'esponente della potenza, a\ \mbox{e} \ b sono rispettivamente il primo e il secondo addendo del binomio.

Sia chiaro che per portare a termine l'esercizio, bisogna sapere come funzionano le sommatorie e cosa si intende con il simbolo matematico {n\ \choose k}.

Esso rappresenta il coefficiente binomiale ed è definito dalla relazione:

{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

dove 0\le k\le n\ \mbox{e} \ n! è il fattoriale di n.

Nel caso considerato

a=x \ \ \ , \ \ \ b= 1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ n=5

pertanto il binomio di Newton diventa:

(x+1)^{5}=\sum_{k=0}^{5}{5\choose k}x^{5-k}\cdot 1^{k}=\sum_{k=0}^{5}{5\choose k}x^{5-k}=

Esplicitiamo la sommatoria, facendo variare k da 0 a 5:

={5\choose 0}x^{5-0}+{5\choose 1}x^{5-1}+{5\choose 2}x^{5-2}+{5\choose 3}x^{5-3}+{5\choose 4}x^{5-4}+{5\choose 5}x^{5-5}=

e svolgiamo i calcoli agli esponenti:

={5\choose 0}x^{5}+{5\choose 1}x^{4}+{5\choose 2}x^{3}+{5\choose 3}x^{2}+{5\choose 4}x+{5\choose 5}

Non ci resta che sviluppare i coefficienti binomiali usando a dovere le proprietà del fattoriale e sostituire ordinatamente i valori ottenuti nell'espressione precedente.

\\ \mbox{Per} \ k=0 \ \ \ \to \ \ \  {5\choose 0}=\frac{5!}{0!\cdot 5!}=\frac{1}{0!}=1\\ \\ \\ \mbox{Per} \ k=1 \  \ \to \ \ \ {5\choose 1}=\frac{5!}{1!\cdot (5-1)!}=\frac{5\cdot 4!}{1!\cdot 4!}=5 \\ \\ \\ \mbox{Per} \ k=2 \ \ \ \to \ \ \ {5\choose 2}=\frac{5!}{2!\cdot (5-2)!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3!}{2!\cdot 3!}=\frac{5\cdot 4}{2}=10 \\ \\ \\ \mbox{Per} \ k=3 \ \ \ \to \ \ \ {5\choose 3}=\frac{5!}{3!\cdot (5-3)!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!\cdot 2!}=\frac{5\cdot 4}{2}=10 \\ \\ \\ \mbox{Per} \ k=4 \ \ \ \to \ \ \ {5\choose 4}=\frac{5!}{4!\cdot (5-4)!}=\frac{5\cdot 4!}{4!\cdot 1!}=5 \\ \\ \\ \mbox{Per} \ k=5 \ \ \to \ \ \ {5\choose 5}=\frac{5!}{5!(5-5)!}=\frac{1}{0!}=1

Possiamo concludere pertanto che lo sviluppo della potenza quinta di x+1 è:

(x+1)^{5}=x^{5}+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1

Abbiamo finito.
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