Semplificare espressione letterale con quadrato di trinomio ed esponenti n

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Semplificare espressione letterale con quadrato di trinomio ed esponenti n #25257

avt
matteo
Sfera
Mi è capitata un'espressione algebrica letterale in cui compare il quadrato di un trinomio a esponenti letterali. Ho provato a svolgerla usando le proprietà delle potenze, però il risultato che ottengo è ben diverso da quello proposto dal libro.

Semplificare la seguente espressione algebrica a esponenti letterali.

(a^{n}+a^{n+1}+a^{n+2})^2-a^{2n+2}(a^2+2a+3)

Grazie mille.
 
 

Semplificare espressione letterale con quadrato di trinomio ed esponenti n #26613

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio ci chiede di semplificare l'espressione algebrica

(a^{n}+a^{n+1}+a^{n+2})^2-a^{2n+2}(a^2+2a+3)

nella quale compare il quadrato di trinomio (a^n+a^{n+1}+a^{n+2})^2. Per rendere più chiara possibile la spiegazione, consideriamo esclusivamente il termine

(a^n+a^{n+1}+a^{n+2})^2

Per poterlo sviluppare, occorre usare il prodotto notevole

(A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC

che consente di esplicitare il quadrato della somma di tre termini con il polinomio di sei monomi formato dal quadrato del primo termine, da quello del secondo e dal quadrato del terzo, a cui vanno aggiunti il doppio prodotto tra il primo e il secondo termine, il doppio prodotto tra il primo e il terzo e infine il doppio prodotto tra il secondo e il terzo termine.

Il trinomio, base del quadrato, è formato dai monomi

A=a^{n} \ \ \ , \ \ \ B=a^{n+1} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ C=a^{n+2}

che, sostituiti nel prodotto notevole, esso diventa:

\\ (a^{n}+a^{n+1}+a^{n+2})^{2}= \\ \\ =(a^{n})^2+(a^{n+1})^2+(a^{n+2})^2+2\cdot a^n\cdot (a^{n+1})+2\cdot a^{n}\cdot a^{n+2}+2\cdot a^{n+1}\cdot a^{n+2}=

Proprio perché compaiono esponenti letterali, possiamo svolgere le varie operazioni tra i monomi con le proprietà delle potenze.

Andiamo nel dettaglio: la regola sulle potenze di potenze consente di esplicitare i quadrati, mentre la regola sul prodotto di due potenze con la stessa base permette di calcolare i doppi prodotti.

\\ =a^{n\cdot 2}+a^{2\cdot(n+1)}+a^{2(n+2)}+2a^{n+(n+1)}+2a^{n+(n+2)}+2a^{(n+1)+(n+2)}= \\ \\ =a^{2n}+a^{2n+2}+a^{2n+4}+2a^{2n+1}+2a^{2n+2}+2a^{2n+3}=

Sommati tra loro i monomi simili a^{2n+2}\ \mbox{e} \ 2a^{2n+2}, ricaviamo l'espressione:

=a^{2n}+3a^{2n+2}+a^{2n+4}+2a^{2n+1}+2a^{2n+3}

Il polinomio ottenuto è lo sviluppo del quadrato di trinomio e, una volta sostituito nell'espressione:

(a^{n}+a^{n+1}+a^{n+2})^2-a^{2n+2}(a^2+2a+3)=

ricaviamo

=a^{2n}+3a^{2n+2}+a^{2n+4}+2a^{2n+1}+2a^{2n+3}-a^{2n+2}(a^2+2a+3)=

Calcoliamo il prodotto tra il monomio e il polinomio

\\ =a^{2n}+3a^{2n+2}+a^{2n+4}+2a^{2n+1}+2a^{2n+3}-a^{2n+2+2}-2a^{2n+2+1}-3a^{2n+2}= \\ \\ =a^{2n}+3a^{2n+2}+a^{2n+4}+2a^{2n+1}+2a^{2n+3}-a^{2n+4}-2a^{2n+3}-3a^{2n+2}=

e infine sommiamo tra loro i monomi simili

\\ =a^{2n}+(3-3)a^{2n+2}+(1-1)a^{2n+4}+(2-2)a^{2n+3}+2a^{2n+1}= \\ \\ =a^{2n}+2a^{2n+1}

Ecco il risultato dell'espressione!
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os