Scomposizione di un polinomio con termini binomi e Ruffini

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Scomposizione di un polinomio con termini binomi e Ruffini #25197

avt
rori
Cerchio
Ho bisogno del vostro aiuto per scomporre un polinomio con la regola di Ruffini. So che dovrei procedere operando una sostituzione e poi usare Ruffini, però il mio risultato non coincide con quello del libro.

Usare una opportuna sostituzione

(x^3+2)^3-5(x^3+2)^2+7(x^3+2)-3

Suggerimento: sfruttare la regola di Ruffini.
 
 

Scomposizione di un polinomio con termini binomi e Ruffini #25198

avt
Omega
Amministratore
Per scomporre il polinomio

(x^3+2)^3-5(x^3+2)^2+7(x^3+2)-3=

conviene operare la sostituzione t=x^3+2, grazie alla quale il polinomio si riscrive nella forma

=t^3-5t^2+7t-3

Ci siamo ricondotti a un polinomio di terzo grado nell'indeterminata t, che possiamo scomporre con la regola di Ruffini.

Osserviamo che t^3-5t^2+7t-3:

- è un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di t;

- è un polinomio completo;

- è un polinomio monico, infatti il coefficiente di t^3 è uno,

pertanto possiamo innescare Ruffini ricercando una radice tra i divisori con segno del termine noto, che in questo caso sono:

\mbox{Divisori di} \ -3=\{\pm 1, \ \pm 3\}

Procedendo per tentativi, scopriamo che il valore con cui innescare la regola di Ruffini è t=3, infatti:

\\ 3^3-5\cdot 3^2+7\cdot 3-3=27-5\cdot 9+21-3=\\ \\ =27-45+21-3=0

In base al metodo, t^3-5t^2+7t-3 si esprime come prodotto tra il binomio t-3 e il polinomio di secondo grado avente per coefficienti i valori che compongono l'ultima riga della tabella di Ruffini, che in questa circostanza è:

\begin{array}{c|ccccc|c}&1&&-5&&7&-3\\ &&&&&& \\ 3&&&3&&-6&3\\ \hline &1&&-2&&1&//\end{array}

per cui scriviamo l'uguaglianza:

t^3-5t^2+7t-3=(t-3)(t^2-2t+1)=

Osserviamo che t^2-2t+1 è lo sviluppo del quadrato di binomio t-1, infatti t^2 è il quadrato di t, 1 è il quadrato di -1, mentre -2t è il doppio prodotto di t per -1, pertanto la precedente espressione diventa:

=(t-3)(t-1)^2=

Ripristiniamo l'incognita x, operando la sostituzione t=x^3+2, mediante la quale otteniamo:

\\ =(x^3+2-3)(x^3+2-1)^2= \\ \\ =(x^3-1)(x^3+1)^2

Osserviamo

\bullet  \ \ \ x^3-1 è la differenza tra il cubo di x e quello di 1, per cui si scompone come:

x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)

(Si veda la regola sulla differenza di cubi.)

\bullet \ \ \ x^3+1 è la somma tra il cubo di x e quello di 1, per cui si scompone come:

x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)

(Si veda la regola sulla somma di cubi)

per cui

(x^3-1)(x^3+1)^2=

si può esprimere come

=(x-1)(x^2+x+1)[(x+1)(x^2-x+1)]^2=

In virtù delle proprietà delle potenze, la scomposizione si rielabora nella seguente forma

=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)^2(x^2-x+1)^2

L'esercizio è concluso perché x^2+x+1\ \mbox{e} \ x^2-x+1 sono falsi quadrati e in quanto tali irriducibili.
  • Pagina:
  • 1
Os