Scomposizione di un polinomio con termini binomi e Ruffini

Ho bisogno del vostro aiuto per scomporre un polinomio con la regola di Ruffini. So che dovrei procedere operando una sostituzione e poi usare Ruffini, però il mio risultato non coincide con quello del libro.

Usare una opportuna sostituzione



Suggerimento: sfruttare la regola di Ruffini.

Per scomporre il polinomio



conviene operare la sostituzione , grazie alla quale il polinomio si riscrive nella forma



Ci siamo ricondotti a un polinomio di terzo grado nell'indeterminata , che possiamo scomporre con la regola di Ruffini.

Osserviamo che :

- è un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di ;

- è un polinomio completo;

- è un polinomio monico, infatti il coefficiente di è uno,

pertanto possiamo innescare Ruffini ricercando una radice tra i divisori con segno del termine noto, che in questo caso sono:



Procedendo per tentativi, scopriamo che il valore con cui innescare la regola di Ruffini è , infatti:



In base al metodo, si esprime come prodotto tra il binomio e il polinomio di secondo grado avente per coefficienti i valori che compongono l'ultima riga della tabella di Ruffini, che in questa circostanza è:



per cui scriviamo l'uguaglianza:



Osserviamo che è lo sviluppo del quadrato di binomio , infatti è il quadrato di , è il quadrato di , mentre è il doppio prodotto di per , pertanto la precedente espressione diventa:



Ripristiniamo l'incognita , operando la sostituzione , mediante la quale otteniamo:



Osserviamo

è la differenza tra il cubo di e quello di , per cui si scompone come:



(Si veda la regola sulla differenza di cubi.)

è la somma tra il cubo di e quello di , per cui si scompone come:



(Si veda la regola sulla somma di cubi)

per cui



si può esprimere come



In virtù delle proprietà delle potenze, la scomposizione si rielabora nella seguente forma



L'esercizio è concluso perché sono falsi quadrati e in quanto tali irriducibili.