Fattorizzare un quadrinomio in fattori irriducibili

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Fattorizzare un quadrinomio in fattori irriducibili #25115

avt
Puck_
Punto
Mi occorrerebbe il vostro aiuto per scomporre un polinomio per cui sono richieste diverse tecniche di fattorizzazione. Sebbene il mio compagno di classe mi abbia suggerito di usare la regola del cubo di un binomio e quella relativa alla somma di cubi, io non so da che parte cominciare.

Fattorizzare il seguente polinomio

x^9+3x^6+3x^3+1

Grazie mille.
 
 

Fattorizzare un quadrinomio in fattori irriducibili #25205

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nell'esprimere il polinomio

x^9+3x^6+3x^3+1

come prodotto di fattori irriducibili avvalendoci delle opportune tecniche di scomposizione. Per prima cosa, esaminiamo con attenzione i termini che vi figurano: x^9 è il cubo di x^3, infatti la regola sulla potenza di una potenza consente di scrivere l'uguaglianza

(x^3)^3=x^{3\cdot 3}=x^{9}

Banalmente 1 è il cubo di se stesso, mentre 3x^6\ \mbox{e} \ 3x^3 sono rispettivamente, il triplo prodotto tra quadrato di x^3\ \mbox{e} \ 1 e il triplo prodotto tra x^3 e il quadrato di 1, infatti:

\\ 3\cdot (x^{3})^2\cdot 1= 3x^{3\cdot 2}=3x^{6} \\ \\ \mbox{e} \\ \\ 3\cdot x^3\cdot 1^2=3x^2

Queste informazioni ci permettono di esprimere il polinomio

x^9+3x^6+3x^3+1=

nel cubo di binomio

=(x^3+1)^3=(\bullet)

Non abbiamo ancora terminato: x^3+1 è la somma di due cubi, x^3\ \mbox{e} \ 1^3=1, pertanto può essere decomposta secondo la regola

A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)

È proprio grazie a essa che (x^3+1)^2 si esprime nella forma

(\bullet)=[(x+1)(x^2-x+1)]^3=

che, in virtù della regola sulla potenza di un prodotto, diventa

=(x+1)^3(x^2-x+1)^3

Abbiamo effettivamente scomposto il polinomio nel prodotto di fattori irriducibili: x^2+x+1 è infatti un falso quadrato e non può essere ulteriormente fattorizzato.
Ringraziano: Pi Greco, Puck_
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