Esercizio: potenza di un binomio alla 4 e triangolo di tartaglia

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Esercizio: potenza di un binomio alla 4 e triangolo di tartaglia #25103

avt
Scricciolo
Banned
Dovrei determinare lo sviluppo della potenza quarta di un binomio, usando il triangolo di Tartaglia. Sebbene mi sia attenuto alla teoria, i segni del mio risultato non coincidono con quelli del risultato del libro.

Calcolare la seguente potenza di binomio:

(a-1)^4

Grazie.
 
 

Esercizio: potenza di un binomio alla 4 e triangolo di tartaglia #25126

avt
Omega
Amministratore
Per poter calcolare la potenza di binomio

(a-1)^4

senza commettere errori di calcolo, conviene determinare lo sviluppo della potenza quarta del generico binomio A+B e procedere in seguito per sostituzione.

Ricordiamo che il calcolo della potenza (A+B)^4 richiede necessariamente la conoscenza della quinta riga del triangolo di Tartaglia, la quale è composta dai coefficienti dello sviluppo, ordinati secondo le potenze decrescenti di A.

\begin{array}{l|rrrrrrrrrr}n=0&&&&&1&&&&\\n=1 &&&&1&&1&&&\\n=2&&&1&&2&&1&&\\ n=3&&1&&3&&3&&1& \\n=4&1&&4&&6&&4&&1&\end{array}

I coefficienti associati ai termini dello sviluppo di (A+B)^4 sono:

1 \ \ \  4  \ \ \ 6 \ \ \ 4 \ \ \ 1

pertanto

\\ (A+B)^4=1\cdot A^4 B^0+4\cdot A^3 B^1+6\cdot A^2 B^2 +4\cdot A^2 B^3+1\cdot A^0 B^4= \\ \\ = A^4+4A^3B+6A^2B^2+4 AB^3+B^4

Osservazione: gli esponenti delle lettere A\ \mbox{e} \ B non sono casuali, infatti:

- gli esponenti di A vanno da quattro a zero, decrescendo di uno a ogni addendo;

- gli esponenti di B vanno da zero a quattro, crescendo di uno a ogni addendo;

- il grado di ogni monomio che compone lo sviluppo è quattro, di conseguenza la somma tra l'esponente di A e quello di B dev'essere pari a quattro.

Noto lo sviluppo della potenza quarta di un generico binomio, possiamo sfruttarlo per ricavare (a-1)^4: è sufficiente operare le sostituzioni

A=a \ \ \ \mbox{e}\ \ \ B=-1

e semplificare il risultato, calcolando a dovere le potenze dei numeri negativi:

\\ (a-1)^4=a^4+4\cdot a^3\cdot (-1)+6\cdot a^2\cdot(-1)^2+4\cdot a\cdot (-1)^3+(-1)^4= \\ \\ =a^4-4a^3+6a^2-4a+1

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Danni
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Os