Problemi di Geometria con le equazioni, rettangolo e quadrato

Potreste darmi un aiutino con due problemi di Geometria con le equazioni su rettangolo e quadrato? Vi scrivo il testo dei due problemi di Geometria:

1) Nel rettangolo il lato è di , inoltre supera di 3 cm il triplo di . Calcolare l' area del rettangolo.

2) La differenza fra i perimetri di due quadrati è di mentre la differenza fra le loro aree è di . Determinare la misura del lato di ciascun quadrato.

Vi prego aiutatemi a risolverli ma con le equazioni. Per favore potete mettere il procedimento perché i risultati ce li ho già.

Grazie.

Risolveremo i due problemi con le equazioni. Iniziamo dal primo.

L'area di un rettangolo è definita dal prodotto tra la base e l'altezza:

quindi dobbiamo innanzitutto trovare la misura dei lati dalle informazioni date dal testo. Poniamo , e scriviamo in termini di . Il testo infatti ci informa che il lato è i del lato

La seconda informazione ci dice che supera di 3 centimetri il triplo di , in simboli:

Sostituiamo i lati con il valore in funzione della :

Scriviamo i termini a denominatore comune

e moltiplichiamo a destra e a sinistra per 16, ricavando così l'equazione di primo grado

Trasportiamo il termine al primo membro cambiandone il segno

e infine sommiamo tra loro i termini simili ricavando la lunghezza del lato

Sostituiamo il valore nelle espressioni che definiscono :

Possiamo finalmente calcolare l'area del rettangolo, data dalla formula

Ecco fatto!

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Prima di tutto ricordiamo che il perimetro di un quadrato può essere espresso dal quadruplo del lato, pertanto se denotiamo con i lati dei due quadrati siamo autorizzati a scrivere che il perimetro del primo quadrato e quello del secondo si ricavano mediante le relazioni

In accordo con le formule della geometria elementare, sappiamo che l'area di un quadrato coincide con il suo lato elevato a 2, di conseguenza le aree dei due quadrati si ottengono mediante le relazioni

Ora che abbiamo ripassato un po' di geometria piana, sfruttiamo le informazioni fornite dal testo e estrapoliamo l'equazione risolvente.

La differenza dei due perimetri è , scriveremo quindi:

Dalla relazione ottenuta, possiamo esprimere in termini di : è sufficiente isolare l'incognita al primo membro.

Dividiamo a destra e a sinistra dell'uguale per 4

La seconda informazione ci informa invece che la differenza delle aree dei due quadrati è

Se andiamo a sostituire ad l'espressione trovata sopra in termini di ci riconduciamo a un'equazione di primo grado in incognita :

Espandiamo il quadrato di binomio al primo membro

e una volta sommati i termini simili, ricaviamo l'equazione di primo grado nell'incognita

Trasportiamo 4 al secondo membro, ricordandoci di cambiare il segno

Dividiamo per 4 a sinistra e a destra dell'uguale, ottenendo così la misura del lato del secondo quadrato

Grazie a tale valore possiamo calcolare la lunghezza del lato dell'altro quadrato, sostituendo a il valore

Abbiamo terminato.