Problemi di Geometria con le equazioni, rettangolo e quadrato

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Problemi di Geometria con le equazioni, rettangolo e quadrato #2498

avt
Puffetta96
Punto
Potreste darmi un aiutino con due problemi di Geometria con le equazioni su rettangolo e quadrato? Vi scrivo il testo dei due problemi di Geometria:

1) Nel rettangolo ABCD il lato BC è \frac{5}{16} di AB, inoltre AB supera di 3 cm il triplo di BC. Calcolare l' area del rettangolo.

2) La differenza fra i perimetri di due quadrati è di 8 \mbox{ dm} mentre la differenza fra le loro aree è di 44\mbox{ dm}^2. Determinare la misura del lato di ciascun quadrato.

Vi prego aiutatemi a risolverli ma con le equazioni. Per favore potete mettere il procedimento perché i risultati ce li ho già.

Grazie.
 
 

Problemi di Geometria con le equazioni, rettangolo e quadrato #2503

avt
frank094
Maestro
Risolveremo i due problemi con le equazioni. Iniziamo dal primo.

L'area di un rettangolo è definita dal prodotto tra la base e l'altezza:

\mbox{Area}= AB \cdot BC

quindi dobbiamo innanzitutto trovare la misura dei lati dalle informazioni date dal testo. Poniamo AB=x, e scriviamo BC in termini di AB. Il testo infatti ci informa che il lato BC è i \frac{5}{16} del lato AB

BC=\frac{5}{16}AB \ \ \to \ \ BC=\frac{5}{16}x

La seconda informazione ci dice che AB supera di 3 centimetri il triplo di BC, in simboli:

AB=3\cdot BC + 3

Sostituiamo i lati con il valore in funzione della x:

x=\frac{15}{16}x+3

Scriviamo i termini a denominatore comune

\frac{16x}{16}=\frac{15x+48}{16}

e moltiplichiamo a destra e a sinistra per 16, ricavando così l'equazione di primo grado

16x = 15x+48

Trasportiamo il termine 15x al primo membro cambiandone il segno

16x-15x=48

e infine sommiamo tra loro i termini simili ricavando la lunghezza del lato AB

x=48\mbox{ cm}

Sostituiamo il valore nelle espressioni che definiscono AB\ \mbox{e} \ BC:

\\ AB=x=48\mbox{ cm} \\ \\ BC=\frac{5}{16}x=\frac{5}{16}\cdot 48= 15\mbox{ cm}

Possiamo finalmente calcolare l'area del rettangolo, data dalla formula

\mbox{Area}= AB \cdot CD = 48 \mbox{ cm}\cdot 15\mbox{ cm}=720 \mbox{ cm}^2

Ecco fatto!

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Prima di tutto ricordiamo che il perimetro di un quadrato può essere espresso dal quadruplo del lato, pertanto se denotiamo con l_1\ \mbox{e}\ l_2 i lati dei due quadrati siamo autorizzati a scrivere che il perimetro del primo quadrato e quello del secondo si ricavano mediante le relazioni

\\ P_1 = 4 \cdot l_1 \\ \\ P_2 = 4 \cdot l_2

In accordo con le formule della geometria elementare, sappiamo che l'area di un quadrato coincide con il suo lato elevato a 2, di conseguenza le aree dei due quadrati si ottengono mediante le relazioni

\\ A_1 = l_1^2 \\ \\ \\ A_2 = l_2^2

Ora che abbiamo ripassato un po' di geometria piana, sfruttiamo le informazioni fornite dal testo e estrapoliamo l'equazione risolvente.

La differenza dei due perimetri è 8 \mbox{ cm}, scriveremo quindi:

P_1 - P_2 = 8\ \ \to \ \ 4l_1 - 4l_2 = 8

Dalla relazione ottenuta, possiamo esprimere l_1 in termini di l_2: è sufficiente isolare l'incognita l_1 al primo membro.

4l_1 = 8 + 4l_2 \ \ \to \ \ 4l_1=4(2+l_2)

Dividiamo a destra e a sinistra dell'uguale per 4

l_1=2+l_2

La seconda informazione ci informa invece che la differenza delle aree dei due quadrati è 44 \mbox{ dm}^2

A_1 - A_2 = 44 \to l_1^2 - l_2^2 = 44

Se andiamo a sostituire ad l_1 l'espressione trovata sopra in termini di l_2 ci riconduciamo a un'equazione di primo grado in incognita l_2:

(2 + l_2)^2 - l_2^2 = 44

Espandiamo il quadrato di binomio al primo membro

4 + l_2^2 + 4l_2 - l_2^2 = 44

e una volta sommati i termini simili, ricaviamo l'equazione di primo grado nell'incognita l_2

4l_2 + 4 = 44

Trasportiamo 4 al secondo membro, ricordandoci di cambiare il segno

4l_2 = 40\mbox{ dm}

Dividiamo per 4 a sinistra e a destra dell'uguale, ottenendo così la misura del lato del secondo quadrato

l_2=10\mbox{ dm}

Grazie a tale valore possiamo calcolare la lunghezza del lato dell'altro quadrato, sostituendo a l_2 il valore 10\mbox{ dm}

l_1 = 2 + l_2 = 2+10\mbox{ dm}=12 \mbox{ dm}

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Omega
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Os