Disequazione con modulo (e con più moduli)

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Disequazione con modulo (e con più moduli) #24919

avt
raiu
Banned
Salve a tutti, siccome la mia intelligenza è asintotica ad una zappa mi sapreste aiutare con questa disequazione con un modulo?

\left|\frac{1-x}{2+x}\right|\leq\1

Ho posto come dominio:

\2+x\right\geq\0

poi

\frac{1-x}{2+x}\right\geq\0

Per studiare il modulo...

del modulo studio numeratore e denominatore e faccio il prodotto dei segni delle soluzioni e ottengo dove devo cambiare segno del modulo.

Dove ho sbagliato?

Ho rieditato un milione di volte ma sono riuscito credo a scrivere in latex...comunque non sapendo come si scrive maggiore o minore senza uguale ho usato quelli ma non c'è uguale.
 
 

Disequazione con modulo (e con più moduli) #24939

avt
Omega
Amministratore
Ciao Raiu emt

Invece le formule le hai scritte bene in LaTeX emt

Per quanto riguarda i simboli di <, >, perché non usi direttamente i simboli della tastiera? emt

---

Vediamo come risolvere la disequazione: ricordando la definizione di modulo, possiamo riscrivere la disequazione eliminando il modulo e passando a risolvere due diversi sistemi. Ciascuno di questi sistemi conterrà una disequazione soggetta d una condizione - la condizione che servirà a specificare il segno dell'argomento del modulo e dunque ad eliminare il modulo.

Se \frac{1-x}{2+x}\geq 0, possiamo riscrivere la disequazione come

\frac{1-x}{2+x}< 1

se invece \frac{1-x}{2+x}< 0, dovendo essere il risultato del modulo, per definizione, una quantità positiva, possiamo riscrivere la disequazione come

-\left(\frac{1-x}{2+x}\right) < 1

o, il che è equivalente

\frac{1-x}{2+x} > -1

Dunque per risolvere la disequazione dovrai risolvere i seguenti sistemi:

\begin{cases}\frac{1-x}{2+x}\geq 0\\ \frac{1-x}{2+x}< 1\end{cases}

e

\begin{cases}\frac{1-x}{2+x}< 0\\ \frac{1-x}{2+x}> -1\end{cases}

Dopo aver risolto ciascuno dei due sistemi, separatamente, dovrai UNIRE le soluzioni (cioè prendere le soluzioni dell'uno e dell'altro sistema).

Se dovessero esserci problemi con i conti non esitare a chiedere emt
Ringraziano: Pi Greco, ild0tt0re

Disequazione con modulo (e con più moduli) #24951

avt
raiu
Banned
grazie ma alla fine ci sono arrivato da solo...

ma mi chiedevo se ci sono + moduli?
es:
2\left|x-1\right|-2<4\left|x\right|}

Disequazione con modulo (e con più moduli) #24952

avt
Omega
Amministratore
Devi confrontare il segno degli argomenti dei vari moduli, e impostare un sistema per ciascuna combinazione di condizioni sul degno degli argomenti I,II:

I\mbox{ positivo e }II\mbox{ positivo}

I\mbox{ positivo e }II\mbox{ negativo}

I\mbox{ negativo e }II\mbox{ positivo}

I\mbox{ negativo e }II\mbox{ negativo}

Dovrai poi risolvere, su ciascuno degli insiemi che determina una delle precedenti condizioni, la disequazione senza moduli e con segno dell'argomento specifico (a seconda della condizione).
Ringraziano: ild0tt0re, Danni

Disequazione con modulo (e con più moduli) #24953

avt
raiu
Banned
tra il 2 e il 4|x| ci sarebbe un < ma non riesco a piazzarlo...
Quindi devo studiare x-1>0 e x>0 e fare il prodotto dei segni dov'è negativo cambio il segno del modulo d'ove positivo invece no ma devo vederlo dal prodotto a dal grafico?
cioè sviluppando x>1 e x>0 mi esce, il prodotto dei segni, positivo per x<0 e x>1 e negativo per 0<x<1 mi devo basare su quello? E questo che non riesco a capire...


edit:Ho piazzato il <emt emt emt

Disequazione con modulo (e con più moduli) #24955

avt
Omega
Amministratore
Devi considerare quattro insiemi:

- nell'insieme in cui x>0 e x-1>0, dovrai sostituire |x| con x e |x-1| con x-1

- nell'insieme in cui x>0 e x-1<0, dovrai sostituire |x| con x e |x-1| con -(x-1)

- nell'insieme in cui x<0 e x-1>0, dovrai sostituire |x| con -x e |x-1| con x-1

- nell'insieme in cui x<0 e x-1<0, dovrai sostituire |x| con -x e |x-1| con -(x-1)

e dunque risolvere i quattro sistemi

\begin{cases}\mbox{Condizione che specifica i segni degli argomenti}\\ \mbox{ Disequazione riscritta senza moduli}\end{cases}

e unire le soluzioni dei quattro sistemi. emt
Ringraziano: Pi Greco, ild0tt0re

Disequazione con modulo (e con più moduli) #24957

avt
raiu
Banned
No niente ho capito cosa vuoi dire

la fretta e il nervosismo sono cattivi consiglieri emt
Ringraziano: Omega

Disequazione con modulo (e con più moduli) #24959

avt
Omega
Amministratore
Più che la fretta, controlla il nervoso: è ciò che più distrae, soprattutto con i calcoli! emt

Fammi sapere se dovessero esserci degli ulteriori dubbi emt

Re: Disequazione con modulo (e con più moduli) #24970

avt
Danni
Sfera
Ciao raiu emt

Per la prima disequazione, essendo il secondo membro una costante positiva, puoi passare all'equivalente

- 1 \leq \frac{1 - x}{x + 2} \leq 1

e risolvi il sistema

\begin{cases}{\frac{1 - x}{x + 2} \geq - 1 \\ \frac{1 - x}{x + 2}\leq  1\end{cases}

quindi

\begin{cases}\frac{3}{x + 2} \geq 0 \\ \frac{2x + 1}{x + 2} \geq 0\end{cases}

\begin{cases}x > - 2\\x < - 2 \;  \cup\;x \geq-\frac{1}{2}  \end{cases}

verificato per

x \geq -\frac{1}{2}

Per la seconda disequazione puoi utilizare uno schema che ti consente lo studio di solo tre sistemi.
Semplifica i coefficienti dividendoli per 2

|x - 1| - 1 < 2|x|

ed imponi positivo l'argomento di ogni valore assoluto:

x > 1

x > 0

e componi lo schema

--- 0 +++ 1 +++

--- 0 --- 1 +++

Ora studi i tre intervalli ricordando che quando un argomento è positivo perde il modulo senza variazioni, mentre se è negativo lo perde cambiando segno

\begin{cases}x < 0 \\ 1 - x - 1 < - 2x \Rightarrow x < 0\end{cases}

Verificato per

x < 0

\begin{cases} 0 \leq x < 1 \\ - x + 1 - 1 < 2x \Rightarrow x > 0\end{cases}

Verificato per

0 < x < 1

\begin{cases}x \geq 1 \\ x - 1 - 1 < 2x \Rightarrow x > - 2\end{cases}

verificato per

x \geq 1

Unendo i risultati, la disequazione è verificata per

x\neq 0

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os