Equazione fratta in modulo #2478

avt
904
Sfera
Come faccio a risolvere la seguente equazione fratta con due valori assoluti? Io ho cercato di sbarazzarmi del modulo utilizzandone la definizione, però i calcoli diventano inumani.

Calcolare le eventuali soluzioni della seguente equazione fratta

\left|\frac{x^2}{x-1}\right|=3-x

Grazie mille.
 
 

Equazione fratta in modulo #2493

avt
Ifrit
Ambasciatore
Prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico sull'equazione fratta

\left|\frac{x^2}{x-1}\right|=3-x

bisogna innanzitutto imporre le condizioni di esistenza: affinché l'equazione sia ben posta richiederemo che il denominatore che contiene l'incognita sia diverso da zero, vale a dire

C.E.:\ x-1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 1

Per poter ricavare le eventuali soluzioni, studiamo il segno dell'argomento del valore assoluto così che si possano determinare gli insiemi in cui l'argomento è positivo e quelli in cui l'argomento è negativo. Impostiamo la disequazione fratta

\frac{x^2}{x-1}\ge 0

e risolviamola analizzando separatamente il segno del numeratore e del denominatore.

\\ N\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x^2\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ \mbox{per ogni }x\in\mathbb{R} \\ \\ D>0 \ \ \ \to \ \ \ x-1>0 \ \ \to \ \ \ x>1

Nota: abbiamo imposto la positività del denominatore perché se fosse uguale a zero, la frazione perderebbe di significato.

Una volta rappresentata la tabella dei segni, scopriamo che l'argomento del modulo è:

- positivo se x>1;

- nullo se x=0;

- negativo se x<0 \ \mbox{oppure} \ 0<x<1.

A questo punto utilizzeremo la definizione di valore assoluto per poterci sbarazzare della sua presenza. In particolare, se x>1, l'argomento del valore assoluto è positivo, di conseguenza il modulo sparisce e l'equazione diventa

\frac{x^2}{x-1}=3-x

Moltiplichiamo i due membri per x-1 che nell'insieme di esistenza è certamente non negativo

x^2=(3-x)(x-1)

Una volta sviluppati i calcoli e ordinati i termini, ci riconduciamo alla seguente equazione di secondo grado

2x^2-4x+3=0

i cui coefficienti sono

a=2 \ \ \ , \ \ \ b=-4 \ \ \ , \ \ \ c=3

Determiniamone le soluzioni con la formula del discriminante

\Delta=b^2-4ac=16-4\cdot 2 \cdot 3=-8

Poiché il discriminante è negativo, l'equazione di secondo grado non ammette soluzioni e ciò garantisce che nell'insieme x>1, l'equazione fratta con modulo non ammette soluzioni.

Per x=0, l'equazione si riduce a un'uguaglianza falsa

\left|\frac{0^2}{0-1}\right|=3-0\ \ \ \to \ \ \ 0=3

Ciò significa che 0 non è soluzione dell'equazione data.

Analizziamo cosa succede nell'insieme

x<0 \ \ \ \vee \ \ \ 0<x<1

nel quale l'argomento del modulo è negativo. In accordo con la definizione di valore assoluto

\left|\frac{x^2}{x-1}\right|=-\frac{x^2}{x-1}

di conseguenza l'equazione diventa

-\frac{x^2}{x-1}=3-x

Moltiplichiamo i due membri per x-1

-x^2=(3-x)(x-1)

e svolgiamo il prodotto al secondo membro

-x^2=3x-3-x^2+x

Sommiamo tra loro i termini simili così da ricondurci all'equazione di primo grado

3-4x=0 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{3}{4}

Poiché la soluzione ottenuta rispetta il vincolo x<0\ \vee \ 0<x<1, possiamo affermare che x=\frac{3}{4} è l'unica soluzione dell'equazione data.

Riassumendo: l'insieme delle soluzioni associato all'equazione

\left|\frac{x^2}{x-1}\right|=3-x

è S=\left\{\frac{3}{4}\right\}

L'esercizio è concluso.
Ringraziano: Omega, frank094
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