Sistema lineare 3x3 con il metodo di sostituzione

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Sistema lineare 3x3 con il metodo di sostituzione #24723

avt
federicoverona
Sfera
Mi è capitato un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite che non sono in grado di risolvere. Dovrei usare il metodo di sostituzione che teoricamente so come funziona, però non capisco come metterlo in pratica. Potreste usare il seguente esercizio per spiegarmi come funziona?

Risolvere il seguente sistema lineare usando il metodo di sostituzione.

\begin{cases}x+2y-z=6\\\ \\ 2x+y+z=3\\ \\ x+3z=-2\end{cases}

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Wall
 
 

Sistema lineare 3x3 con il metodo di sostituzione #24726

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo il sistema lineare in tre equazioni e in tre incognite

\begin{cases}x+2y-z=6\\\ \\ 2x+y+z=3\\ \\ x+3z=-2\end{cases}

Il nostro compito consiste nel determinare i valori di x, \ y \ \mbox{e} \ z che soddisfano contemporaneamente le tre relazioni, avvalendoci del metodo di sostituzione.

Poiché il sistema è già espresso in forma normale, possiamo tranquillamente innescare il metodo: da una delle tre equazioni, scriviamo una delle incognite in termini delle altre due (ad esempio x dalla prima) dopodiché rimpiazziamo l'espressione ottenuta nelle equazioni rimanenti.

\begin{cases}x=6-2y+z\\ \\ 2(6-2y+z)+y+z=3\\ \\ 6-2y+z+3z=-2\end{cases}

Svolgiamo le operazioni tra i monomi nella seconda e nella terza equazione

\begin{cases}x=6-2y+z\\ \\ -3y+3z=-9\\ \\ -2y+4z=-8\end{cases}

Si noti che la seconda e la terza equazione dipendono esclusivamente dalle incognite y\ \mbox{e} \ z. Da una di queste, esplicitiamo una delle equazioni dopodiché rimpiazziamo l'espressione nella rimanente.

A titolo di esempio, esplicitiamo y dalla terza relazione

-2y+4z=-8\ \ \ \to \ \ \ -2y=-8-4z \ \ \ \to \ \ \ 2y=8+4z \ \ \ \to \\ \\ \to \ \ \ y=4+2z

cosicché il sistema diventi

\begin{cases}x=6-2y+z\\ \\ -3y+3z=-9\\ \\ y=4+2z\end{cases}

Sostituiamo l'espressione ottenuta al posto di y della seconda equazione

\begin{cases}x=6-2y+z\\ \\ -3(4+2z)+3z=-9\\ \\ y=4+2z\end{cases}

e svolgiamo le semplici operazioni

\begin{cases}x=6-2y+z\\ \\ -3z=3 \ \ \ \to \ \ \ z=\dfrac{3}{-3}=-1\\ \\ y=4+2z\end{cases}

Ottenuto il valore di z, sostituiamolo nella terza relazione, da cui ricaveremo l'y corrispondente

\begin{cases}x=6-2y+z\\ \\ z=-1\\ \\ y=4+2\cdot(-1)=4-2=2\end{cases}

Noti y\ \mbox{e} \ z, sostituiamo nella prima equazione per ricavare x

\begin{cases}x=6-2\cdot 2+(-1)=6-4-1=1\\ \\ z=-1\\ \\ y=4+2\cdot(-1)=4-2=2\end{cases}

Possiamo concludere che la tripla che soddisfa il sistema è (x,y,z) dove:

x=1 \ \ \ , \ \ \ y=2 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ z=-1

Abbiamo finito.
Ringraziano: federicoverona
  • Pagina:
  • 1
Os