Moltiplicazioni e divisioni tra radicali in R

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Moltiplicazioni e divisioni tra radicali in R #247

avt
lux
Cerchio
Ciao, ho difficoltà con gli esercizi sulle moltiplicazioni e le divisioni tra radicali in R.

Provo a scrivere gli esercizi che non riesco a risolvere sui radicali

\sqrt[6]{2a}\sqrt[4]{8a^{3}}\sqrt[3]{2a}

\frac{\sqrt[4]{a^{2}-2a+1}}{\sqrt[3]{a-1}}

\sqrt[3]{a-b}\sqrt[5]{a^{2}-2ab+b}.

Grazie mille in anticipo!
 
 

Moltiplicazioni e divisioni tra radicali in R #250

avt
Omega
Amministratore
Ciao Lux, vediamo come semplificare i prodotti e le divisioni tra i radicali che hai proposto:

\sqrt[6]{2a}\sqrt[4]{8a^{3}}\sqrt[3]{2a}


\frac{\sqrt[4]{a^{2}-2a+1}}{\sqrt[3]{a-1}}


\sqrt[3]{a-b}\sqrt[5]{a^{2}-2ab+b}.


Queste espressioni si possono semplificare facendo ricorso alle proprietà delle potenze, di cui parliamo nella lezione del link.

Una qualsiasi radice si può infatti scrivere come potenza, secondo la regola delle potenze ad esponente fratto

\sqrt[m]{a^{n}}=a^{\frac{n}{m}}


dunque nel primo esercizio abbiamo


\sqrt[6]{2a}\sqrt[4]{8a^{3}}\sqrt[3]{2a}=(2a)^{\frac{1}{6}}(8a^{3})^{\frac{1}{4}}(2a)^{\frac{1}{3}}=

portiamo tutto in base 2a, ed è facile perchè 8a3=(2a)3, quindi

=(2a)^{\frac{1}{6}}(2a)^{\frac{3}{4}}(2a)^{\frac{1}{3}}=

proprietà delle potenze

=(2a)^{\frac{1}{6}+\frac{3}{4}+\frac{1}{3}}=(2a)^{\frac{5}{4}}

ossia \sqrt[4]{a^{5}}.


Per il secondo basta osservare che

a^{2}-2a+1=(a-1)^{2}

quindi abbiamo

\frac{\sqrt[4]{(a-1)^2}}{\sqrt[3]{a-1}}=(a-1)^{\frac{2}{4}}(a-1)^{-\frac{1}{3}}

e per le proprietà delle potenze

=(a-1)^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{a}.

Infine per il terzo ragioniamo allo stesso modo, portando il secondo radicando nella stessa base del primo

\sqrt[3]{a-b}\sqrt[5]{(a-b)^{2}}=(a-b)^{\frac{1}{3}+\frac{2}{5}}=(a-b)^{\frac{11}{15}}=\sqrt[15]{(a-b)^{11}}


Ti suggerisco fortemente di leggere la lezione sulle operazioni con i radicali. emt
Ringraziano: lux
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Os