Equazione logaritmica di secondo grado per sostituzione

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#24515
avt
gika77
Punto

Salve a tutti, vorrei chiedervi una mano con un'equazione logaritmica con logaritmi in base 10, la cui risoluzione richiede un'opportuna sostituzione.

Calcolare le soluzioni dell'equazione logaritmica in base 10.

log_(10)^2(x^2)−2log_(10)(x^3)+2 = 0

Grazie in anticipo a chi mi risponderà.

#24518
avt
Omega
Amministratore

Il nostro obiettivo è quello di ricavare i valori di x che soddisfano l'equazione logaritmica in base 10

log_(10)^2(x^2)−2log_(10)(x^3)+2 = 0

Prima di addentrarci nei calcoli, dobbiamo imporre le dovute condizioni di esistenza: dobbiamo richiedere che i vari argomenti dei logaritmi siano contemporaneamente maggiori di zero.

Consideriamo quindi il sistema di disequazioni

x^2 > 0 ; x^3 > 0 → x ne 0 ; x > 0

da cui ricaviamo che la condizione di esistenza che definisce l'insieme delle soluzioni

C.E.: x > 0

Per semplificare il più possibile l'equazione ci avvarremo delle opportune proprietà dei logaritmi, in particolare utilizzeremo la regola relativa al logaritmo di una potenza:

log_(a)(A^B) = Blog_(a)(A) con A > 0

Essa garantisce le seguenti uguaglianze

log_(10)(x^2) = 2log_(10)(x) con x > 0 ⇒ log_(10)^2(x^2) = 4log_(10)^2(x) ; log_(10)(x^3) = 3log_(10)(x) con x > 0

grazie alle quali l'equazione logaritmica diventa

4log_(10)^2(x)−2·3log_(10)(x)+2 = 0 ; 4log_(10)^2(x)−6log_(10)(x)+2 = 0

A questo punto sfruttiamo la sostituzione

t = log_(10)(x) → t^2 = log_(10)^2(x)

con cui ci riconduciamo alla seguente equazione di secondo grado

4t^2−6t+2 = 0

con coefficienti

a = 4 , b = −6 , c = 2

Proprio perché b = −6 è un numero pari, risolviamo l'equazione con la formula del delta quarti

(Δ)/(4) = ((b)/(2))^2−ac = (−3)^2−4·2 = 9−8 = 1

dunque

t_(1,2) = (−(b)/(2)±√((Δ)/(4)))/(a) = (3±1)/(4) = (3−1)/(4) = (1)/(2) = t_1 ; (3+1)/(4) = 1 = t_2

Le soluzioni dell'equazione di secondo grado in t sono quindi

t = (1)/(2) e t = 1

Non ci resta che ripristinare l'incognita x. Poiché avevamo posto t = log_(10)(x), la relazione t = (1)/(2) diventa

log_(10)(x) = (1)/(2)

e fornisce la soluzione

x = 10^((1)/(2)) → x = √(10)

La relazione t = 1 si traduce invece nell'equazione logaritmica elementare

log_(10)(x) = 1 → x = 10

In definitiva, possiamo concludere che l'equazione

log_(10)^2(x^2)−2log_(10)(x^3)+2 = 0

ammette come soluzioni

x = √(10) ∨ x = 10

osserviamo infatti che entrambe soddisfano le condizioni di esistenza.

Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Ifrit, Danni
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