Equazione logaritmica di secondo grado per sostituzione

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Equazione logaritmica di secondo grado per sostituzione #24515

avt
gika77
Punto
Salve a tutti, vorrei chiedervi una mano con un'equazione logaritmica con logaritmi in base 10, la cui risoluzione richiede un'opportuna sostituzione.

Calcolare le soluzioni dell'equazione logaritmica in base 10.

\log_{10}^2(x^2)-2\log_{10}(x^3)+2=0

Grazie in anticipo a chi mi risponderà.
 
 

Equazione logaritmica di secondo grado per sostituzione #24518

avt
Omega
Amministratore
Il nostro obiettivo è quello di ricavare i valori di x che soddisfano l'equazione logaritmica in base 10

\log_{10}^2(x^2)-2\log_{10}(x^3)+2=0

Prima di addentrarci nei calcoli, dobbiamo imporre le dovute condizioni di esistenza: dobbiamo richiedere che i vari argomenti dei logaritmi siano contemporaneamente maggiori di zero.

Consideriamo quindi il sistema di disequazioni

\begin{cases}x^2>0\\ \\ x^3>0\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x\ne 0\\ \\ x>0\end{cases}

da cui ricaviamo che la condizione di esistenza che definisce l'insieme delle soluzioni

C.E.:\ x>0

Per semplificare il più possibile l'equazione ci avvarremo delle opportune proprietà dei logaritmi, in particolare utilizzeremo la regola relativa al logaritmo di una potenza:

\log_{a}(A^B)=B\log_{a}(A)\ \ \ \mbox{con} \ A>0

Essa garantisce le seguenti uguaglianze

\\ \log_{10}(x^2)=2\log_{10}(x)\ \ \ \mbox{con} \ x>0 \ \ \ \implies \log_{10}^2(x^2)=4\log_{10}^2(x)\\ \\ \log_{10}(x^3)=3\log_{10}(x)\ \ \ \mbox{con} \ x>0

grazie alle quali l'equazione logaritmica diventa

\\ 4\log_{10}^2(x)-2\cdot 3\log_{10}(x)+2=0 \\ \\ 4\log_{10}^2(x)-6\log_{10}(x)+2=0

A questo punto sfruttiamo la sostituzione

t=\log_{10}(x) \ \ \ \to \ \ \ t^2=\log_{10}^2(x)

con cui ci riconduciamo alla seguente equazione di secondo grado

4t^2-6t+2=0

con coefficienti

a=4 \ \ \ ,\ \ \ b=-6 \ \ \ , \ \ \ c=2

Proprio perché b=-6 è un numero pari, risolviamo l'equazione con la formula del delta quarti

\\ \frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac= \\ \\ \\ =(-3)^2-4\cdot 2= 9-8=1

dunque

t_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=\frac{3\pm 1}{4}=\begin{cases}\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}=t_1\\ \\ \frac{3+1}{4}=1=t_2\end{cases}

Le soluzioni dell'equazione di secondo grado in t sono quindi

t=\frac{1}{2}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ t=1

Non ci resta che ripristinare l'incognita x. Poiché avevamo posto t=\log_{10}(x), la relazione t=\frac{1}{2} diventa

\log_{10}(x)=\frac{1}{2}

e fornisce la soluzione

x=10^{\frac{1}{2}}\ \ \ \to \ \ \ x=\sqrt{10}

La relazione t=1 si traduce invece nell'equazione logaritmica elementare

\log_{10}(x)=1 \ \ \ \to \ \ \ x=10

In definitiva, possiamo concludere che l'equazione

\log_{10}^2(x^2)-2\log_{10}(x^3)+2=0

ammette come soluzioni

x=\sqrt{10}\ \ \ \vee \ \ \ x=10

osserviamo infatti che entrambe soddisfano le condizioni di esistenza.
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Ifrit, Danni
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Os