Esercizio: differenza di cubi con monomi misti

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Esercizio: differenza di cubi con monomi misti #2443

avt
revolution93
Cerchio
Dovrei fattorizzare un binomio e secondo la traccia dovrei utilizzare il prodotto notevole relativo alla differenza di cubi, però ho un dubbio: il binomio non è una differenza di cubi! Come procedo?

Usare la regola sulla differenza di cubi per scomporre il seguente polinomio:

24a^4b^2-3ab^5

Grazie mille.
 
 

Esercizio: differenza di cubi con monomi misti #2449

avt
Omega
Amministratore
Proponiamoci come obiettivo quello di scomporre il polinomio

24a^4b^2-3ab^5=

con le opportune tecniche di scomposizione. Sebbene la traccia suggerisca di usare la regola per scomporre la differenza di due cubi, bisogna prima di tutto controllare se è possibile mettere in evidenza fattori comuni, o in altri termini, se è possibile procedere con il raccoglimento totale.

I termini del binomio condividono i fattori 3, \ a\ \mbox{e} \ b^2 e una volta messi in evidenza, otteniamo l'espressione:

=3ab^2\left[8a^3-b^3\right]

Nelle parentesi quadre compare finalmente la differenza di cubi, che possiamo scomporre con il prodotto notevole:

A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)

Questa relazione permette di scrivere la differenza tra i cubi di due termini come il prodotto tra due polinomi:

- il binomio formato dalla differenza dei due termini;

- il trinomio formato dal cubo del primo termine, dal prodotto tra il primo e il secondo e il quadrato del secondo termine.

Per applicare il prodotto notevole è necessario individuare le basi dei due cubi: esse ricoprono il ruolo di A e quello di B.

Esaminiamo i termini di 8a^3-b^3. Sia il primo sia il secondo monomio sono effettivamente cubi perfetti, infatti basta usare le proprietà delle potenze per affermare che:

- il termine 8a^3 è il cubo di 2a, infatti

(2a)^3=2^3a^3=8a^3

- il termine b^3 è il cubo di b.

Deduciamo che A=2a\ \mbox{e} \ B=b, di conseguenza la regola sulla differenza di cubi consente di scrivere l'uguaglianza:

\\ 8a^3-b^3=(2a-b)\left[(2a)^2+2a\cdot b+b^2\right]=\\ \\ =(2a-b)\left[4a^2+2ab+b^2\right]

con cui il polinomio

3ab^2\left[8a^3-b^3\right]=

diventa

=3ab^2(2a-b)\left[4a^2+2ab+b^2\right]

Possiamo finalmente concludere che:

24a^4b^2-3ab^5=3ab^2(2a-b)\left[4a^2+2ab+b^2\right]

Chiosa finale: il trinomio nelle parentesi quadre è un falso quadrato ed è dunque irriducibile.
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