Discussione di disequazioni dipendenti da un parametro

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Discussione di disequazioni dipendenti da un parametro #23150

avt
Vins
Punto
Buongiorno... trovo difficoltà nel capire come si svolgono le discussioni di disequazioni dipendenti da un parametro. Ne posto dunque una che ho saputo svolgere fino alla fine ma con i risultati diversi da quelli corretti..

\frac{3a}{x-a}<\frac{x+a}{a}

Ecco svolgendo tutti i calcoli arrivo a questo punto e non so discuterla.

\frac{x^2-4a^2}{a^2-ax}>0

Poi pongo numeratore e denominatore maggiori di zero per trovare le soluzioni e ricavo:

Num x<a
Den x<-2a /vee x>2a

Da adesso in poi ammesso che sia corretto il mio ragionamento non so più cosa fare.
 
 

Discussione di disequazioni dipendenti da un parametro #23231

avt
Omega
Amministratore
Ciao Vins emt

La disequazione con parametro che vogliamo risolvere si può scrivere nella forma

\frac{x^2-4a^2}{a(x-a)}>0

Partendo dal presupposto che il parametro a deve soddisfare la condizione a\neq 0, consideriamo il caso a>0.

In tale eventualità possiamo riscrivere la disequazione come

\frac{x^2-4a^2}{x-a}>0

e studiare separatamente il segno di numeratore e denominatore, come in una normalissima disequazione fratta

Numeratore > 0 -> x^2-4a^2>0\to x<-2a\vee x>+2a

Denominatore > 0 -> x-a>0\to x>a

Disegnando il grafico per lo studio del segno, e tenendo conto del fatto che 2a>a, dobbiamo prendere le soluzioni per le quali la frazione è positiva, dunque

-2a<x<a \vee x>2a

Se consideriamo il caso a<0, invece, possiamo riscrivere la disequazione nella forma

\frac{x^2-4a^2}{x-a}<0

dopodiché studiamo il segno di numeratore e denominatore ponendoli separatamente maggiori di zero:

Numeratore > 0 -> x^2-4a^2>0\to x<-2|a|\vee x>+2|a|

Denominatore > 0 -> x-a>0\to x>a

Dato che ci interessano le soluzioni che rendono la frazione negativa, dobbiamo prendere

x<-2|a|\vee a<x<+2|a|

Ecco fatto emt se dovessi avere dubbi non esitare a chiedere emt
Ringraziano: Pi Greco, Danni, Vins

Re: Discussione di disequazioni dipendenti da un parametro #23258

avt
Danni
Sfera
Ciao Vins emt

Hai la disequazione paramerica

\frac{3a}{x - a} < \frac{x + a}{a}

che porta a

\frac{3a^2 - x^2 + a^2}{a(x - a)} < 0

ovvero a

\frac{(x + 2a)(x - 2a)}{a(x - a)} > 0

Poiché deve risultare \;\;a \neq 0\;\;

possiamo eliminare il fattore dal denominatore discutendo però i due casi

a > 0

che implica il mantenimento del verso della disequazione

e

a < 0

che comporta il cambio del verso. Sai infatti che se la disequazione viene moltiplicata per un fattore negativo, deve cambiare verso.

1° caso: \;\;\;a > 0

La disequazione conserva il verso:

\frac{(x + 2a)(x - 2a)}{x - a} > 0


Numeratore > 0 per

x < - 2a \cup x > 2a

Denominatore > 0 per

x > a

++++ (-2a) ---- 0 ---- (a) ---- (2a) ++++

---- (-2a) ---- 0 ---- (a) ++++ (2a) ++++

La disequazione ha verso positivo ed è verificata per

- 2a < x < a \cup x > 2a

2° caso: \;\;\;a < 0

La disequazione cambia verso:

\frac{(x + 2a)(x - 2a)}{x - a} < 0

Ovviamente, essendo \;\;\;a < 0\;\;\; i capisaldi sono così disposti:

++++ (2a) ---- (a) ---- 0 ---- (-2a) ++++

---- (2a) ---- (a) ++++ 0 ++++\;(-2a) ++++

Il verso della disequazione è negativo, quindi:

x < 2a  \cup  a < x < -2a

Ciao* emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Vins

Re: Discussione di disequazioni dipendenti da un parametro #24213

avt
Vins
Punto
grazie mille per le risposte ora e' tutto chiaro..... scusate il ritardo ma sono stato impegnato con la nave in questi giorni e nn ho visto casa..... grazie ancora,
Ringraziano: Danni
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Os