Scomporre un polinomio in fattori mediante raccoglimento

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Scomporre un polinomio in fattori mediante raccoglimento #22852

avt
21zuclo
Frattale
Mi servirebbe il vostro aiuto per esprimere un polinomio come prodotto di fattori irriducibili usando la tecnica del raccoglimento parziale. In questo caso, il mio problema risiede nel determinare i cosiddetti "fattori comuni parziali".

Esprimere il seguente polinomio nel prodotto di fattori irriducibili, avvalendosi del metodo del raccoglimento parziale:

1-3a^3+a-3a^2

Grazie.
 
 

Scomporre un polinomio in fattori mediante raccoglimento #22855

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito prevede di usare il metodo del raccoglimento parziale per fattorizzare il polinomio

1-3a^3+a-3a^2

Prima di tutto esaminiamo attentamente i termini che lo compongono. Essi sono:

1 \ \ \ , \ \ \ -3a^3 \ \ \ , \ \ \ a \ \ \ , \ \ \ -3a^2

La prima coppia non condivide alcun fattore (non banale) e, sebbene a\ \mbox{e}\ -3a^2 abbiano a come fattore comune, la sua messa in evidenza non conduce a nulla di buono (nel senso che non permette di scomporre il polinomio).

Tentiamo un approccio differente! Se analizziamo con attenzione i quattro termini, ci accorgiamo che -3a^3\ \mbox{e} \ -3a^2 hanno come fattore comune -3a^2 che, una volta messo in evidenza, fa sì che il polinomio

1-3a^3+a-3a^2=

si possa esprimere nella forma

=1+a-3a^2(a+1)=

Notato, inoltre, che il binomio 1+a è identico ad a+1 (per via della proprietà commutativa dell'addizione), il polinomio diventa

=(a+1)-3a^2(a+1)=

Da questa deduciamo che a+1 è il fattore comune dei termini (a+1)\ \mbox{e} \ -3a^2(a+1), pertanto possiamo raccoglierlo totalmente, ricavando così la scomposizione richiesta.

=(a+1)(1-3a^2)

Abbiamo finito.
Ringraziano: 21zuclo
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Os