Sistema di equazioni lineari con coefficienti razionali

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Sistema di equazioni lineari con coefficienti razionali #22768

avt
Gian
Punto
Mi occorrerebbe il vostro aiuto per risolvere un sistema lineare in cui compaiono coefficienti frazionari. Dovrei usare il metodo di sostituzione per calcolare le soluzioni.

Utilizzare il metodo di sostituzione per calcolare le eventuali soluzioni del seguente sistema lineare

\begin{cases}x-\frac{1}{2}y=\frac{5}{2} \\ x+3y-z=-11 \\ \frac{1}{3}y+\frac{2}{3}z=1\end{cases}

Grazie mille.
Ringraziano: Omega, Danni, CarFaby
 
 

Sistema di equazioni lineari con coefficienti razionali #22770

avt
Ifrit
Ambasciatore
Se nelle equazioni di un sistema lineare (e più in generale di un sistema di equazioni) compaiono coefficienti fratti, possiamo passare a un sistema equivalente a coefficienti interi: basta esprimere ciascuna equazione a denominatore comune ed effettuare le dovute semplificazioni.

Una volta ottenuto il sistema a coefficienti interi equivalente, possiamo avvalerci di uno dei metodi risolutivi, quali ad esempio il metodo di sostituzione o ancora il metodo di Cramer.

Dopo questa premessa, consideriamo il sistema lineare nelle incognite x,y,z

\begin{cases}x-\tfrac{1}{2}y=\tfrac{5}{2}\\ x+3y-z=-11\\ \tfrac{1}{3}y+\tfrac{2}{3}z=1\end{cases}

Esprimiamo a denominatore comune sia la prima che la terza equazione

\begin{cases}\dfrac{2x-y}{2}=\dfrac{5}{2}\\ \\ x+3y-z=-11\\ \\ \dfrac{y+2z}{3}=\dfrac{3}{3}\end{cases}

dopodiché semplifichiamo i denominatori ottenendo così il sistema equivalente

\begin{cases}2x-y=5\\ x+3y-z=-11\\ y+2z=3\end{cases}

A questo punto applichiamo il metodo di sostituzione: nella prima relazione esprimiamo y in termini di x

\begin{cases}y=2x-5\\ x+3y-z=-11\\ y+2z=3\end{cases}

Sostituiamo l'espressione nelle equazioni rimanenti

\begin{cases}y=2x-5\\ x+3(2x-5)-z=-11\\ (2x-5)+2z=3\end{cases}

e svolgiamo i calcoli

\begin{cases}y=2x-5\\ 7x-z=4\\ 2x+2z=8\end{cases}

Nella seconda, isoliamo z al primo membro e sostituiamo nell'ultima

\begin{cases}y=2x-5\\ z=7x-4\\ 2x+2(7x-4)=8\end{cases}

Risolviamo la terza equazione, trovando così il valore dell'incognita x

\begin{cases}y=2x-5\\ z=7x-4\\ 16x=16\ \ \ \to \ \ \ x=1\end{cases}

Noto x, possiamo determinare i valori da dare alle altre incognite sostituendo all'indietro

\begin{cases}y=2\cdot 1-5=-3\\ z=7\cdot 1-4=3\\ x=1\end{cases}

Possiamo concludere che il sistema lineare è soddisfatto unicamente dalla tripla

(x,y,z)=(1,-3,3)

Ecco fatto.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094, Danni, CarFaby
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Os